Probability

Probability

該筆記參考 醫學統計學

Axiom

• $0 \le P(A) \le 1$

• $P(\Omega) = 1 \mid \Omega = \text{total sample space}$

• $\text{When }A_1, A_2, \cdots, A_n \text{ are independent}$

  • $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)$

Conditional Probability

• $P(A \mid S) = \frac{P(A\cap S)}{P(S)}$

• $P(A \cap S) = P(A\mid S)P(S)$

Independent

• $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

  • $P(A\mid B) = P(A)$

    • B 無法提供任何訊息給 A

Bayes Theorem

• 用於條件互調

• 已知

  $$\begin{aligned} P(A \cap S) &= P(A\mid S)P(S) \\ &= P(S\mid A)P(A) \end{aligned}$$
• 所以

  $$\begin{aligned} P(S\mid A)P(A) &= P(A\mid S)P(S) \\ \Rightarrow P(S\mid A) &= \frac{P(A\mid S)P(S)}{P(A)} \end{aligned}$$
• 另外已知

  $$\begin{aligned} P(A) &= P(A \cap S) + P(A \cap \bar{S})\\ &= P(A\mid S)P(S) + P(A\mid\bar{S})P(\bar{S}) \end{aligned}$$
• 最終的 Bayes theorem formula

  $$P(S\mid A) = \frac{P(A\mid S)P(S)}{P(A\mid S)P(S) + P(A\mid\bar{S})P(\bar{S})}$$

Example

• 20% 吸菸 $P(S) = 0.2$

• 吸菸有 9% 有氣喘 $P(A\mid S) = 0.09$

• 不吸菸有 7% 有氣喘 $P(A\mid\bar{S}) = 0.07$

• 有一個氣喘人出現，他有抽菸的機率是多少

  • Find $P(S\mid A)$

$$\begin{aligned} P(S\mid A) &= \frac{P(A\mid S)P(S)}{P(A\mid S)P(S) + P(A\mid\bar{S})P(\bar{S})} \\ &= \frac{0.09 \cdot 0.2}{0.09 \cdot 0.2 + 0.07 \cdot 0.8}\\ &= 0.24 \end{aligned}$$

Expectation and Variance

• Expectation

• 求取一組 Discrete Random Variables $X$ 的期望 (均值)

  • 將所有 X 的值和對應機率相乘後求和，也會用 $\mu$ 表示

  • $E(X) = \sum_x x\cdot P(X=x)$

• Variance

• 衡量一組數據變化幅度

  • $Var(X) = E((X-\mu)^2) \mid \mu = E(x)$

  • 也可以寫成

  • $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$

• Variance 有一些性質

  1. $Var(X+b) = Var(X)$

  2. $Var(aX) = a^2Var(X)$

  3. $Var(aX+b) = a^2Var(X)$

Bernoulli distribution

• 有一個 X = 2 ramdom variables $\{0, 1\}$

• 兩個變數是 independent

• 假設取 1 的機率有 P

• X 期望值為

  $$\begin{aligned} E(X) &= \sum_x x\cdot P(X=x) \\ &= 1 \cdot P + 0 \cdot (1-P) \\ &= P \end{aligned}$$
• X 的 Var 為 $(x = x^2)$

  $$\begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= E[X] - E[X]^2 \\ &= P - P^2 \\ &= P(1-P) \end{aligned}$$

證明 independent X, Y 時兩大公式

• $E(XY) = E(X)E(Y)$

$$\begin{aligned} E(XY) &= \sum_x \sum_y xyP(X=x, Y=y) \\ &= \sum_x \sum_y xyP(X=x)P(Y=y) \\ &= \sum_x xP(X=x) \sum_y yP(Y=y) \\ &= E(X)E(Y) \end{aligned}$$

• $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$

$$\begin{aligned} Var(X+Y) &= E((X+Y)^2) - E(X+Y)^2 \\ &= E(X^2+2XY+Y^2) - (E(X) + E(Y))^2 \\ &= E(X^2) + E(Y^2) + 2E(XY) \\&\,\,\,\,\,\,- E(X)^2 - E(Y)^2 - 2E(X)E(Y) \\ &= E(X^2) -E(X)^2 + E(Y^2) - E(Y)^2 \\ &= Var(X) + Var(Y) \end{aligned}$$

Binomial Distribution

• 通常是 $n$ 次成功率 $P$ 的實驗，他成功的次數

• success in $n$ independent Bernoulli trials

• 若 X 符合二項分布，記為 $X \sim \text{Binomial}(n, P)$

• 第 x 次實驗的機率寫為

  $$P(X=x) =\binom{n}{x}P^x(1-P)^{n-x} \mid \text{for } x = 1, 2, \cdots, n$$

Expectation and Variance of Binomial Distribution

• 期望值就會等於 X 滿足 $X \sim \text{Binomial}(n, P)$

• 用 $X_i, i = 1, 2, \cdots n$ 標記每個獨立通過實驗的 $X$

$$\begin{aligned} E(X) &= E(\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \\ &= E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) \\ &= \sum_{i=1}^n E(X_i) \\ &= \sum_{i=1}^n P \\ &= nP \end{aligned}$$

• 計算 Variance

$$\begin{aligned} Var(X) &= Var(\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \\ &= Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_n) \\ &= \sum_{i=1}^n Var(X_i) \\ &= \sum_{i=1}^n P(1-P) \\ &= nP(1-P) \end{aligned}$$

Poisson Distribution

• 事件在時間 $T$ 發生 $\lambda$ 次

  • 期望在該時間的發生次數是 $E(X) = \lambda T$

• 用微分想像 $T$ 有 $n$ 個時段，$n \rightarrow \infin$ 的每個微小時段都發生一次事件

  • 每個微小時段可視為一個 Bernoulli (有發生或沒有發生)

  • 整個 $T$ 發生事件可視為 Binomial distribution

• 若 $X$ 代表一次事件發生經過的所有時間段

• 當 X 符合泊松分佈時

  $$X \sim \text{Poisson}(\mu = \lambda T)$$
• the probability function of a Poisson distribution

  $$P(X = x) \rightarrow \frac{\mu^x}{x!}e^{-\mu}$$
• Expectation of poisson

  $$E(X) = \mu$$
• Variance of poisson

  $$Var(X) = \mu$$

Normal Distribution

Probability density function， PDF

• 給定範圍 [a, b] 且 a < b，那麼一個隨機連續變量 X 的機率將滿足

  $$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$$

  • 這稱為概率密度方程 (probability density function, PDF)

  • 在 a ∼ b 區間內的積分，就是這個連續變量在這個區間內取值的概率

• 整個範圍的面積等於 1

  $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1$$

  • Expectation

    $$E(X) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)dx$$
  • Variance

    $$Var(X) = \int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2f(x)dx$$

Normal Distribution

• 當數據 X 符合 normal distribution，通常會用 exp 和 var 來描述

  $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$
• 他的 probability density function 可表示為

  $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})}$$
• Expectation $E(x) = \mu$

• Variance $Var(x) = \sigma^2$

Standard Normal Distribution

• Normal distribution with $\mu = 0, \sigma^2 = 1$ 時稱之

  • 記為 $Z \sim N(0, 1)$

• 他的 probability density function 可表示為

  $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$
• 他有 95% 的面積在 standard deviation -1.96 至 1.96 區間

• 任何 normal distribution 都可以正規化成 standard，利用以下公式

  $$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$

Central Limit Theorem

Covariance

• 還記得兩個獨立變數的 variance 可以拆開

  $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$

• 若兩個變數互相會影響時 :

  $$\begin{aligned} Var(X+Y) &= E[((X+Y) - E(X+Y))^2] \\ &= E[((X+Y)- (E(X) + E(Y)))^2] \\ &= E[(X - E(X)) - (Y - E(Y))^2] \\ &= E[(X-E(X))^2 + (Y - E(Y))^2 + 2(X-E(X))(Y - E(Y))] \\ &= Var(X) + Var(Y) + 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \end{aligned}$$
• 後面多出來的 $E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$ 稱為 Covariance (協方差)

  $$Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$
• 所以當兩變數互相影響、不為獨立時，Variance 的算法如下

  $$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)$$
• 注意 : Covariance 只能評價 X, Y 之間的 linear assoication

• 以下有一些 covariance 的 properties

  • $Cov(X, X) = Var(X)$

  • $Cov(X, Y) = Cov(Y, X)$

  • $Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)$

  • $Cov(X+Y, X-Y) = Var(X) - Var(Y)$

  • $X, Y \text{ independent} \rightarrow Cov(X, Y) = 0 \text{ (no vice versa)}$

Correlation

• Covariance 的大小波動不穩定，會被各自數值、單位影響

• 可以除以各自標準差 (standardization)，得到相關係數 Corr (-1 to 1)

  $$Corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{SD(X)SD(Y)} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$$

the Central Limit Theorem

• 當你有數量為 $n$ 的樣本，其 sampling distribution 為 $\bar{X}_n$

• 當樣本數增加 $n \rightarrow \infty$，會接近 normal distribution

• 可以寫成

  $$\bar{X}_n \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$
• 或寫成

  $$\sum_{i=1}^n X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)$$
• 簡而言之，只要樣本數夠大， Sampling distribution 的分布會服從於 Normal distribution

Binomial Distribution with Central Limit Theorem

• 二項分布要解決 $n \rightarrow \infty$ 得到 $X \sim \text{Binomial}(n, P)$

• 因為 n 非常大，計算非常困難

• 所以可以運用 Central Limit Theorem

  $$X \sim N(nP, nP(1-P))$$
• n 多少算大

  • $n > 20 \text{ AND } nP > 5 \text{ AND } n(1-P) > 5$