# Null space and column space

## Matrix vector products

* <https://youtu.be/7Mo4S2wyMg4>

我們接下來可以將 matrix 和 vector 結合運算，我們表達 matrix size 為 m × n 時為

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a\_{11} & a\_{12} & \cdots  & a\_{1n}\\
a\_{21} & a\_{22} & \cdots  & a\_{2n}\\
\vdots & &\ddots\\
a\_{m1} & & & a\_{mn}
\end{bmatrix}
$$

而可以跟他相乘的 vector 的 components 必須要等於 matrix 的 column size

> 例如: m × y matrix 只能跟 y × n 的 vector 相乘，並且會變成 m × n 的 matrix

$$
\begin{bmatrix}
a\_{11} & a\_{12} & \cdots  & a\_{1n}\\
a\_{21} & a\_{22} & \cdots  & a\_{2n}\\
\vdots & &\ddots\\
a\_{m1} & & & a\_{mn}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\_{1} \x\_{2}\\\vdots\x\_{n}
\end{bmatrix}
\= \mathbf{A}\vec{x}
\= \begin{bmatrix}
a\_{11}x\_1 + a\_{12}x\_2+\cdots+a\_{1n}x\_n\\
a\_{21}x\_1 + a\_{22}x\_2+\cdots+a\_{2n}x\_n\\
\vdots\\
a\_{m1}x\_1 + a\_{m2}x\_2+\cdots+a\_{mn}x\_n\\
\end{bmatrix}=b=
\begin{bmatrix}
b\_{1} \b\_{2}\\\vdots\b\_{n}
\end{bmatrix}
$$

舉個例子

$$
\mathbf{A}\vec{x} =
\begin{bmatrix} -3 & 0 & 3 & 2 \1 &7 & -1& 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 \\-3\4\\-1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} -6+0+12-2 \ 2-21-4-9
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4\\-32
\end{bmatrix}
$$

我們可以把 matrix A 的兩列視為兩個 row vector ，也就是 column vector 的 **Transpose**

並且把矩陣相乘的結果表示為 Dot Product

$$
\vec{a\_1} = \begin{bmatrix} -3\0\3\2\end{bmatrix},
\vec{a\_2} = \begin{bmatrix} 1\7\\-1\9\end{bmatrix},
\mathbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix} \vec{a\_1^T} \\\vec{a\_2^T} \end{bmatrix}\vec{x}
\= \begin{bmatrix} \vec{a\_1}\cdot\vec{x}\ \vec{a\_2}\cdot\vec{x} \end{bmatrix}
$$

我們也可以把矩陣視為一個一個的 column vector

$$
\mathbf{A}\vec{x} =
\begin{bmatrix} \color{red}-3 & \color{blue}0 & \color{green}3 & \color{orange}2
\\\color{red}1 &\color{blue}7 & \color{green}-1& \color{orange}9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1 \x\_2\x\_3\x\_4
\end{bmatrix}
$$

把矩陣相乘的結果表示為每個 vector 和 xi 的乘積相加的 linear combination

$$
\mathbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix}\color{red}\vec{v\_1} & \color{blue}\vec{v\_2} & \color{green}\vec{v\_3} & \color{orange}\vec{v\_4}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\_1 \x\_2\x\_3\x\_4
\end{bmatrix} = x\_1\vec{v\_1} + x\_2\vec{v\_2} +x\_3\vec{v\_4} +x\_4\vec{v\_4}
$$

## Null space of a matrix

* <https://youtu.be/jCwRV1QL_Xs>

假設有一個 matrix A: m × n，和 vector x 相乘皆為零向量，我們稱之為 **homogeneous equation**

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{A}: m\times n \\
&\mathbf{A}\vec{x} = \mathbf{0}\\

\end{aligned}
$$

現在我們想知道所有能夠符合這個 equation 的 x 集合，能不能構成一個 valid 的 subspace ?

$$
\mathbf{N} = \begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{A}\vec{x} = \mathbf{0}\end{Bmatrix}
$$

答案是可以的，他符合 subspace 的三項條件

* x 包含 0向量
* x 符合加法封閉 (closure under addition)
* x 符合乘法封閉 (closure under scalar multiplication)

$$
\begin{aligned}

1. ,,, &\mathbf{A}\mathbf{0}=\mathbf{0}, \mathbf{0} \in N\\\\
2. ,,, \&v\_1, v\_2 \in N, ,\mathbf{A}v\_1 = \mathbf{0},, \mathbf{A}v\_2 = \mathbf{0} \ & \mathbf{A}(v\_1+v\_2) = \mathbf{A}v\_1+\mathbf{A}v\_2 = \mathbf{0 + 0 = 0}\\\\
3. ,,, \&v\_1 \in N, c \in \mathbb{R}\\
   &\mathbf{A}(cv\_1) = c(\mathbf{A}v\_1) = c\mathbf{0}= \mathbf{0}
   \end{aligned}
   $$

我們稱這個 subspace N 為 **A 的 NullSpace**

$$
\mathbf{N} = N(\mathbf{A}) = \text{Nullspace of } \mathbf{A}
$$

## Calculating the null space of a matrix

* <https://youtu.be/qvyboGryeA8>

我們來試著計算隨便一個 matrix A 他的 nullspace 為何

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1 \ 1&2&3&4 \ 4&3&2&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0\0\0\end{bmatrix}
$$

也就是解決 equation

$$
\begin{aligned}
x\_1+x\_2+x\_3+x\_4&=0\\
x\_1+2x\_2+3x\_3+4x\_4&=0\\
4x\_1+3x\_2+2x\_3+x\_4&=0
\end{aligned}
$$

可以利用 Reduced row echelon form 來解

$$
\begin{bmatrix}\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&1&0 \ 1&2&3&4&0 \ 4&3&2&1&0\end{array}\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&1&0 \ 0&1&2&3&0 \ 0&1&2&3&0\end{array}\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}\begin{array}{cccc|c} 1&0&-1&-2&0 \ 0&1&2&3&0 \ 0&0&0&0&0\end{array}\end{bmatrix}
$$

再轉回 equation

$$
\begin{aligned}
x\_1 -x\_3-2x\_4&=0  \Rightarrow \color{red}{x\_1=x\_3+2x\_4}\\
x\_2+2x\_3+3x\_4&=0 \Rightarrow \color{red}{x\_2=-2x\_3-3x\_4}
\end{aligned}
$$

最後得出一個 linear combination，其中 x3 和 x4 可以為任何實數，來拖移兩個向量在 R4 nullspace 移動

$$
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\end{bmatrix}=
x\_3\begin{bmatrix} 1\\-2\1\0 \end{bmatrix}+
x\_4\begin{bmatrix} 2\\-3\0\1 \end{bmatrix}
$$

也就是這個 nullspace 是由這兩個向量來 span 而成的

其實也可以發現，要求得 N(A) 跟求得 N(rref(A)) 的 nullspace 是一樣的

$$
N(\mathbf{A}) = span\left(\begin{bmatrix}1\\-2\1\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\-3\0\1\end{bmatrix}\right)= N(rref(\mathbf{A}))
$$

#### Null space's relation to linear independence

* <https://youtu.be/-fKh6SNEPr4>

當 matrix A 為 m × n 時，其 nullspace 一定為 n 個 components 的 vector

$$
N(\mathbf{A}) = \begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{A}\vec{x}=\vec{0}\end{Bmatrix}
$$

得出來的 0 矩陣會有 m 個 components

$$
\mathbf{A}\_{m \times n} = \begin{bmatrix} \vec{v\_1} & \vec{v\_2} & \cdots & \vec{v\_n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\\\vdots \ x\_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\_1\0\_2\\\vdots \ 0\_m \end{bmatrix}
$$

我們將上面的運算拆出來變成 linear combination 的形式

$$
x\_1\vec{v\_1} + x\_2\vec{v\_2} + \cdots + x\_n\vec{v\_n} = \vec{0}
$$

這時我們思考，若 v1 到 vn 要 linear independence ，那 x1 到 xn 必須都為 0

若 x1 到 xn 都為 0，代表這個 linear combination 只有唯一解

也就是說，A 的 nullspace 在 v1 到 vn 皆為 linear independence 下只有 0 矩陣而已

$$
v\_1,v\_2,\cdots,v\_n \text{ L.I} \iff x\_1, x\_2,\cdots,x\_n =0 \iff N(\mathbf{A}) = \begin{Bmatrix} \vec{0} \end{Bmatrix}
$$

## Column space of a matrix

* <https://youtu.be/st6D5OdFV9M>

我們已經知道 m × n 代表 Matrix A 有 n 個 column vector，每個都在 Rm 空間

$$
\mathbf{A}\_{m \times n} = \begin{bmatrix} \vec{v\_1} & \vec{v\_2} & \cdots & \vec{v\_n} \end{bmatrix}
, \vec{v\_1}, \vec{v\_2},\cdots, \vec{v\_n}\in \mathbb{R}^m
$$

而 Column space 指的就是由這 n 個 column vector 所 span 的空間

$$
C(\mathbf{A}) = span\left( \vec{v\_1}, \vec{v\_2},\cdots, \vec{v\_n} \right)
$$

我們也知道 span 出來的空間符合 subspace 的三大條件

$$
\begin{aligned}
\vec{a} &\in C(\mathbf{A})\\
\vec{a} &= c\_1\vec{v\_1} + c\_2\vec{v\_2} + \cdots + c\_n\vec{v\_n}\\\\
1.,, &\vec{a} \text{ contains zero vector}\\
2.,, \&s\vec{a} = sc\_1\vec{v\_1} + sc\_2\vec{v\_2} + \cdots + sc\_n\vec{v\_n},,, s\vec{a} \in C(\mathbf{A})\\
3.,, &\vec{b} = b\_1\vec{v\_1} + b\_2\vec{v\_2} + \cdots +     b\_n\vec{v\_n},,, \vec{b} \in C(\mathbf{A})\\
&\vec{a}+\vec{b} = (c\_1+b\_1)\vec{v\_1} + (c\_2+b\_2)\vec{v\_2} + \cdots + (c\_n+b\_n)\vec{v\_n} \in C(\mathbf{A})
\end{aligned}
$$

我們可以用下面 Set 的方式來思考 Column space

Column space 就是 matrix A 和任何可以與他相乘的 vector x 所生成的所有向量集合

> vector x 必須要為 n 個 components 這樣才可以相乘

$$
\begin{Bmatrix}\mathbf{A}\vec{x}\mid\vec{x}\in\mathbb{R}^n  \end{Bmatrix} \mid
\mathbf{A}\vec{x}= x\_1\vec{v\_1} + x\_2\vec{v\_2} + \cdots + x\_n\vec{v\_n}
$$

可以表示成

$$
\begin{Bmatrix}x\_1\vec{v\_1} + x\_2\vec{v\_2} + \cdots + x\_n \mid x\_1,x\_2,\cdots,x\_n \in\mathbb{R}  \end{Bmatrix}
\= span\left( \vec{v\_1}, \vec{v\_2},\cdots, \vec{v\_n} \right)
\= C(\mathbf{A})
$$

舉個例子，若向量 b1 不在 A 的 column space 裡，那 Ax = b1 是永遠不會有解的

相反，若向量 b2 他存在於 A 的 column space 裡，那 Ax = b2 將至少會有一個解

$$
\begin{aligned}
\vec{b\_1} \notin C(\mathbf{A}) &\mid \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b\_1} \text{ has no solution}\\

\vec{b\_2} \in C(\mathbf{A}) &\mid \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b\_2} \text{ has a least one solution}\\
\end{aligned}
$$

## Null space and column space basis

* <https://youtu.be/_uTAdf_AsfQ>

現在要找出下面 matrix A 的 column space 和 null space

$$
\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1&1&1&1\2&1&4&3\ 3&4&1&2\end{bmatrix}
$$

我們可以非常輕鬆求得他的 column space 等於每個 column vector span 而成的空間

但他是否為這個空間的 basis 呢 ? (要為 basis 必須要 linear independence)

$$
C(\mathbf{A}) = span\left(
\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\1\4\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\4\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\3\2\end{bmatrix} \right)
$$

要知道 matrix A 有沒有 linear independence 只要看 null space 是否只有包含 0 向量即可

$$
x\_1\vec{v\_1}+ x\_2\vec{v\_2} + \cdots + x\_n\vec{v\_n} = 0 \mid x\_1,x\_2,\cdots,x\_n = 0 \iff \mathbf{A} \text{ is L.I.}\\
A\vec{x}=0, \vec{x} = \begin{Bmatrix}\vec{0} \end{Bmatrix}
$$

要求 A 的 null space 等於求 rref(A) 的 null space

$$
rref(\mathbf{A})= \begin{bmatrix} 1&0&3&2\0&1&-2&-1\ 0&0&0&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0\0\0\end{bmatrix}
$$

將矩陣列回 equation

$$
x\_1+3x\_3+2x\_4=0 \Rightarrow \color{red}{x\_1=-3x\_3-2x\_4}\\
x\_2-2x\_3-x\_4=0 \Rightarrow \color{red}{x\_2 = 2x\_3+x\_4}\\
$$

並且利用 free variables 來表示 null space 空間

$$
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\end{bmatrix} =
x\_3\begin{bmatrix} -3\2\1\0\end{bmatrix} +
x\_4\begin{bmatrix} -2\1\0\1\end{bmatrix}
$$

至此，我們可以得到 null space 為下，而且並不是只含有 0 向量

$$
N(\mathbf{A}) = N(rref(\mathbf{A}))=span\left(\begin{bmatrix} -3\2\1\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} -2\1\0\1\end{bmatrix}\right)
$$

所以 A 不為 linear independence，也就是剛剛的 column space 不為 basis

要得到 basis 我們要從剛剛的 column space 刪除多餘的 vectors

$$
\begin{aligned}
x\_1 &= -3x\_3-2x\_4\\
x\_2 &= 2x\_3+x\_4
\end{aligned}
$$

透過剛剛求得的 equation，我們知道 x1 和 x2 都可以由 x3 和 x4 組成，所以 x3 和 x4 是多餘的

$$
\text{basis of } C(\mathbf{A}) = span\left(\vec{x\_1},\vec{x\_2} \right) = span\left(
\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\1\4\end{bmatrix}\right)
$$

## Visualizing a column space as a plane in R3

* <https://youtu.be/EGNlXtjYABw>

從上面的例子我們知道兩個 R3 vector 所 span 出來的為**三維空間**中的一個**平面**

那我們要怎麼找出平面呢 ?

### 方法一

* 先找到 normal vector (可以由 (1, 2, 3) 和 (1, 1, 4) 的 Cross product 求得！)
* 再從任一點向量 (x, y, z) 和 (1, 2, 3) 或 (1, 1, 4) 相減得到一條 **躺在該平面上的向量**
* 最後因為該向量跟 normval vector 會垂直，所以 dot product 為 0
* 以此找到 plane 的 equation

$$
\vec{n} \cdot (\vec{x} - \begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}) = \vec{0}
$$

來找 normal vector n

$$
\vec{n} =
\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}\times
\begin{bmatrix}1\1\4\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}8-3\\-(4-3)\1-2\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}5\\-1\\-1\end{bmatrix}
$$

接著代回上面式子

$$
\begin{bmatrix}5\\-1\\-1\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}x-1\y-2\z-3\end{bmatrix}=0
$$

即可得到平面方程式

$$
\begin{aligned}
&5(x-1)-1(y-2)-1(z-3)=0\\
\Rightarrow,,&5x-5-y+2-z+3=0\\
\Rightarrow,,&5x-y-z=0 \in C(\mathbf{A})
\end{aligned}
$$

### 方法二

我們知道，Column space 裡的任何一個解 (vector b) 都應該在該平面上

$$
C(\mathbf{A}) =
\begin{Bmatrix} \mathbf{A}\vec{x}\mid\ \vec{x}\in \mathbb{R}^n \end{Bmatrix}=
\begin{Bmatrix} \vec{b}\mid\ \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \text{ AND } \vec{x} \in \mathbb{R}^n \end{Bmatrix}
$$

我們又知道，要解決 Ax=b 可以轉換為 \[A|b] 的矩陣來求 reduced row echelon form

$$
\vec{b} = \begin{bmatrix} x\y\z\end{bmatrix},
\mathbf{A}\vec{x}=\vec{b} \Rightarrow
\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&1&1&1\&x\2&1&4&3\&y\3&4&1&2\&z \end{array} \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&1&1&1\&x\0&1&-2&-1&2x-y\0&0&0&0&5x-y-z \end{array} \end{bmatrix}
$$

要滿足 Ax=b 的 b 為 valid vector，那最後一行的 5x - y - z 必須要等於 0 才行，所以我們得到

$$
5x-y-z = 0 \in C(\mathbf{A})
$$

## Any subspace basis has same number of elements

* <https://youtu.be/Zn2K8UIT8r4> (詳細證明)

下面用矛盾證明 subspace 的 basis 所含的 elements 數量皆相同

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A} &= \begin{Bmatrix} a\_1,a\_2,\cdots,a\_n\end{Bmatrix} \text{ is basis of } \mathbf{V}\\
\mathbf{B} &= \begin{Bmatrix} b\_1,b\_2,\cdots,b\_m\end{Bmatrix} \text{ spans } \mathbf{V} \mid m\<n\\
\end{aligned}
$$

若把 a1, a2 依序帶入 B set 中取代 b1, b2 ，表面上可以維持 B spans V

而且取代時不可以把原本在 A set 的元素取代掉，因為 A set 的元素之間是 linear independence 的

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{B\_1} = \begin{Bmatrix} a\_1, b\_2,b\_3, \cdots, b\_m\end{Bmatrix} \text{ spans }\mathbf{V}\\
&\mathbf{B\_2} = \begin{Bmatrix} a\_1, a\_2,b\_3, \cdots, b\_m\end{Bmatrix} \text{ spans }\mathbf{V}\\
&\vdots\\
&\mathbf{B\_m} = \begin{Bmatrix} a\_1, a\_2,a\_3, \cdots, a\_m\end{Bmatrix} \text{ spans }\mathbf{V}\\

\end{aligned}
$$

但是我們知道 m < n ， A 又可以表示成 Bm 的延伸

$$
\mathbf{A} = \begin{Bmatrix} \color{red}{a\_1,a\_2,\cdots,a\_m}\color{black},\cdots a\_n\end{Bmatrix} \text{ is basis of } \mathbf{V}
$$

我們知道 A 已經確定是 span V 的最小組合了，但卻又能用 m 個 a 元素來 span V，產生矛盾

因此，不可能有比 basis 更少的元素組合可以 span subspace

而且，basis 也不能有多餘的元素出現在裡面

**綜合在一起，同一個 subspace 底下的任何 basis 都擁有一個數量的 elements**

> 我們又將這些 basis 共同擁有的元素數量，稱作 dimension
>
> $$
> Dim(\mathbf{A}) = n
> $$

## Dimension of the null space or nullity

* <https://youtu.be/abYAUqs_n6I>

假設我們要找出 matrix B 的 nullspace

$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}1&1&2&3&2\1&1&3&1&4\end{bmatrix}
$$

我們知道只要將 B 轉為 reduced row echelon form

$$
rref(\mathbf{B})= \begin{bmatrix}1&1&0&7&-2\0&0&1&-2&2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\x\_5\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}
$$

再利用 equation 就可以找出 span null space 的向量集

$$
x\_1+x\_2+7x\_4-2x\_5=0 \Rightarrow \color{red}{x\_1=-x\_2-7x\_4+2x\_5}\\
x\_3-2x\_4+2x\_5=0 \Rightarrow \color{red}{x\_3=2x\_4-2x\_5}\\
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\x\_5\end{bmatrix} =
x\_2\begin{bmatrix} -1\1\0\0\0\end{bmatrix}+
x\_4\begin{bmatrix} -7\0\2\1\0\end{bmatrix}+
x\_5\begin{bmatrix} 2\0\\-2\0\1\end{bmatrix}
$$

所以 N(B) =

$$
N(\mathbf{B}) = N(rref(\mathbf{B})) = span\left(
\begin{bmatrix}-1\1\0\0\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}-7\0\2\1\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}2\0\\-2\0\1\end{bmatrix}
\right) = span(\vec{v\_1},\vec{v\_2},\vec{v\_3})
$$

而且這三個向量 linear independent，所以為 N(B) 的 basis

然後因為找到 basis 了，所以 N(B) 的 dimension 為 3，又可以稱作 nullity = 3

> 🤷‍♂️ Nullity = reduced row echelon form 的 non-pivot column 數量

## Dimension of the column space or rank

* <https://youtu.be/JUgrBkPteTg>

我們可以將 matrix A 的 column 分為五等份，而 column space 即為這五個 column 所 span 而成

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}1&0&-1&0&4\2&1&0&0&9\\-1&2&5&1&-5\1&-1&-3&-2&9\end{bmatrix},
C(\mathbf{A}) = span\left(
\begin{bmatrix}-1\2\\-1\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\1\2\\-1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}-1\0\5\\-3\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\0\1\\-2\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}4\9\\-5\9\end{bmatrix}
\right)
$$

但我們並不知道他們五個是否 linear independent，即是否為 basis of column space

這邊提供一個方法找出 column space 的 basis 並且得知他的 dimension 也就是 rank

* 先將 A 化簡為 reduced row echelon form
* 找到 rref 的 pivot columns
* 這些 column 對應回 A ，即是 C(A) 的 basis

$$
rref(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix}
\color{red}1&\color{blue}0&-1&\color{green}0&4\\
\color{red}0&\color{blue}1&2&\color{green}0&1\\
\color{red}0&\color{blue}0&0&\color{green}1&-3\\
\color{red}0&\color{blue}0&0&\color{green}0&0\end{bmatrix}
$$

因為 1, 2, 4 行為 pivot column ，所以對應回 A 的 1, 2, 4 行即為 C(A) 的 basis

$$
C(\mathbf{A})= span\left(
\begin{bmatrix}-1\2\\-1\2\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\1\2\\-1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\0\1\\-2\end{bmatrix}
\right)
$$

> 🤷‍♂️ Dimension = reduced row echelon form 的 pivot column 數量

以下解釋了為何 rref(A) 的 pivot column 會等於 C(A) 的 basis

> Showing relation between basis cols and pivot cols
>
> * <https://youtu.be/BfVjTOjvI30>
>
> Showing that the candidate basis does span C(A)
>
> * <https://youtu.be/CkQOCnLWPUA>


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