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# Functions and linear transformations

## formal understanding of functions

* <https://youtu.be/BQMyeQOLvpg>

我們都知道 function 的表示如下

$$
f:X\to Y
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjbbomye9MsZMuI%2Ffunction_intro.jpg?generation=1568692889593318\&alt=media)

我們可以帶入更多的術語進到 function 裡面，這裡用一個 x 變成 x^2 的 function 來示範

$$
f(x) = x^2 \mid f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}
$$

這個 function 從 R map 到還是 R，而且可以表示成另一個方式

$$
f: x \mapsto x^2
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjiIqZ0Oto5H2jr%2Ffunction_intro2.jpg?generation=1568692900052058\&alt=media)

我們稱還沒轉換的前一個物件為 domain ，而轉換過後的物件為 co-domain

因為 x 轉換成 x^2 還是在 real number 裡面，所以 f 的 domain & co-domain 都是 real number

> 那什麼是 Range 呢？
>
> Range 是 co-domain 的 subset ，這個 subset 為 function 真正 map 到的地方
>
> 例如有個 function 讓任何 R2 都會 maps 到 2
>
> $$
> g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mid g(x\_1, x\_2) =2
> $$
>
> 所以他的 domain 為 R2，co-domain 為 R，range 為 { 2 }

另外，若是 function map 到的 co-domain 為 R，那我們稱之為 **scalar (real) valued function**

而 co-domain 為 R2, R3, R100, Rn，那我們稱之為 **vector valued function**

## Vector Transformation

* <https://youtu.be/gAbadNuQEjI>

我們可以將 function apply 到 vector 上面，這時候雖然做的事情一樣，不過我們稱為 transformations

$$
f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjkgsaGk9gnJ7B5%2Fvector_transformation.jpg?generation=1568692900449988\&alt=media)

例如我們可以將 R3 的 vector 轉換到 R2 的 vector

$$
f\left(\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\x\_3\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x\_1+2x\_2\3x\_3\end{bmatrix}
$$

若 domain 為 (1, 1, 1) 就會有對應的 co-domain (3, 3)

$$
f\left(\begin{bmatrix} 1\1\1\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3\3\end{bmatrix}
$$

## Linear transformations

* <https://youtu.be/4PCktDZJH8E>

我們將給予 vector transformation 一個新名詞，叫作 **linear transformation**

只要 transformation 能夠符合兩項條件，那這個 transformation 就是 linear transformation

1. 兩個向量相加後再 transform 等於兩個向量先 transform 再相加
2. 任一向量先做 scalar multiplication 再 transform 等於先 transform 再做 scalar multiplication

$$
T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \\
\begin{aligned}
\text{Linear transformation } \iff &\vec{a}, \vec{b} \in\mathbb{R}^n\\
\&T(\vec{a}+\vec{b}) = T(\vec{a})+T(\vec{b})\\
\&T(c\vec{a}) = cT(\vec{a}) \mid c\in \mathbb{R}

\end{aligned}
$$

舉個符合 linear transformation 的 T function

$$
\begin{aligned}
\&T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\\
\&T(x\_1, x\_2) = (x\_1+x\_2, 3x\_1) \\\\
&\vec{a} = (a\_1, a\_2)\\
&\vec{b} = (b\_1, b\_2)\\
\end{aligned}
$$

1. T(a + b) = T(a) + T(b)

$$
\begin{aligned}
&\vec{a} + \vec{b} = (a\_1+b\_1, a\_2+b\_2)\\
&\color{red}{T(\vec{a}+\vec{b})} = ((a\_1+b\_1)+(a\_2+b\_2), 3a\_1+3b\_1)\\\\

\&T(\vec{a}) = (a\_1+a\_2, 3a\_1)\\
\&T(\vec{b}) = (b\_1+b\_2, 3b\_1)\\
&\color{red}{T(\vec{a})+T(\vec{b})} = ((a\_1+b\_1)+(a\_2+b\_2), 3a\_1+3b\_1) \\\\

\&T(\vec{a}+\vec{b}) = T(\vec{a})+T(\vec{b})

\end{aligned}
$$

1. T(ca) = cT(a)

$$
T(c\vec{a}) = T((ca\_1,ca\_2)) = (ca\_1+ca\_2, 3ca\_1)=c(a\_1+a\_2,3a\_1)=cT(\vec{a})
$$

另外舉例一個不符合 linear transformation 的 T function

$$
\begin{aligned}
\&T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\\
\&T\left(\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x\_1^2\0\end{bmatrix}\\\\

&\vec{a} = \begin{bmatrix}a\_1\a\_2\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n
\end{aligned}
$$

這時我們試著 apply linear transformation 的第二個條件，很明顯他不符合第二項條件

$$
T(c\vec{a}) = T\left(\begin{bmatrix} ca\_1\ca\_2\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix} c^2a\_1^2\0\end{bmatrix} =
c^2\begin{bmatrix} a\_1^2\0\end{bmatrix} =
c^2T(\vec{a})
$$

所以這個 transformation **不是 Linear transformation**

## Visualizing linear transformations

知道 Linear transformation 的定義之後，先來看幾個不是 linear 的 transformation

1. [Lines do not remain straight & origin does not remain fixed](https://youtu.be/x1dGfxBdDlM)
2. [Look like linear but diagonal lines get curved](https://youtu.be/MgWkNwczVb0)

然後來看看 linear transformation with indicator

* <https://youtu.be/XUw95PFP1RE>

我們可以看到 i hat 從 (1, 0) 變到了 (1, -2)，而 j hat 從 (0, 1) 變到了 (3, 0)

也就是說，平面上任何一個 x 座標向量，他會跟 (1, 0) 一樣轉換了 (1, -2)

$$
\begin{bmatrix}x\0\end{bmatrix} =
x\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} \to
x\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}x\\-2x\end{bmatrix}
$$

而平面上任何一個 y 座標向量，則會跟 (0, 1) 一樣轉換了 (3, 0)

$$
\begin{bmatrix}0\y\end{bmatrix} =
y\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix} \to
y\begin{bmatrix}3\0\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}3y\0\end{bmatrix}
$$

這下我們就可以知道為什麼 (1, 1) 會變到 (4, -2) 了，因為

$$
\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}3\0\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}
$$

> 我們可以從[這個影片](https://youtu.be/gNMGlQ62MBY)看到上面座標向量改變的動畫

最後，我們可以利用 matrices 來表達 linear transformation

$$
\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} =
x\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} +
y\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}
$$

我們知道任意 x 可以表示成 x 乘 i hat，任意 y 可以乘 j hat

而 i, j hat 的 transformation 可以 apply 到其他 x, y 上面

$$
x\begin{bmatrix}\color{green}a\\\color{green}c\end{bmatrix} +
y\begin{bmatrix}\color{red}b\\\color{red}d\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}\color{green}{a}x+\color{red}{b}y\\\color{green}{c}x+\color{red}{d}y\end{bmatrix}
$$

如此一來，代表 transformation 的 matrix A 和要被我們轉換的 vector v

Av 即為轉換後的結果：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}a\&b\c\&d\end{bmatrix},
\vec{v} = \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\\
\mathbf{A}\vec{v} =
\begin{bmatrix}a\&b\c\&d\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\end{bmatrix}
$$

## Matrix vector products as linear transformations

* <https://youtu.be/ondmopWLiEg>

Transformation 可以化為矩陣 A 乘以被轉換的 vector x

$$
T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\\
T(\vec{x}) = \mathbf{A\vec{x}}\mid \mathbf{A}\vec{x} \in \mathbb{R}^m
$$

舉個例子

$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}2&-1\3&4\end{bmatrix}, T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\\
T(\vec{x}) = \mathbf{B}\vec{x} =
\begin{bmatrix}2&-1\3&4\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2x\_1-x\_2\3x\_1+4x\_2\end{bmatrix}
$$

這個結果等同於

$$
T\left( x\_1, x\_2\right) = \left(2x\_1-x\_2, 3x\_1+4x\_2\right)
$$

接著我們來測試一下，化為 matrix product 的 linear transformation 還有沒有符合兩大條件呢

* 加法成立

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}(\vec{a}+\vec{b}) &=
\begin{bmatrix}\vec{v\_1}&\vec{v\_2}&\cdots&\vec{v\_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a\_1+b\_1\a\_2+b\_2\\\vdots\a\_n+b\_2\end{bmatrix}\\

&=(a\_1+b\_1)\vec{v\_1}+(a\_2+b\_2)\vec{v\_2}+\cdots+(a\_n+b\_n)\vec{v\_n}\\
&=a\_1\vec{v\_1}+b\_1\vec{v\_1}+a\_2\vec{v\_2}+b\_2\vec{v\_2}+\cdots+a\_n\vec{v\_n}+b\_n\vec{v\_n}\\
&=(a\_1\vec{v\_1}+a\_2\vec{v\_2}+\cdots+a\_n\vec{v\_n})+(b\_1\vec{v\_1}+b\_2\vec{v\_2}+\cdots+b\_n\vec{v\_n})\\
&=\mathbf{A}\vec{a} + \mathbf{A}\vec{b}
\end{aligned}
$$

* 乘法成立

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}(c\vec{a}) &=
\begin{bmatrix}\vec{v\_1}&\vec{v\_2}&\cdots&\vec{v\_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}ca\_1\ca\_2\\\vdots\ca\_n\end{bmatrix} \\&=
ca\_1\vec{v\_1}+ ca\_2\vec{v\_2}+ \cdots + ca\_n\vec{v\_n} \\&=
c(a\_1\vec{v\_1}+ a\_2\vec{v\_2}+ \cdots + a\_n\vec{v\_n}) \\&=
c\mathbf{A}\vec{a}
\end{aligned}
$$

這證明，Matrix 和 vector 相乘所代表的 transformation 永遠是 **linear transformation**

## Linear transformations as matrix vector products

* <https://youtu.be/PErhLkQcpZ8>

上面我們讓矩陣和 linear transformation 連結在一起

現在我們嘗試來讓 linear transformation 轉換為 matrix 和 vector 的 product

首先要先認識何為 Identity Matrix

Identity matrix 用 In 來表示，是一個 n × n 的矩陣，並且只有在對角線上有 1

$$
\mathbf{I\_n} = \begin{bmatrix}
1&0&0&\cdots&0 \ 0&1&0&\cdots&0 \ 0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&0&0&1\end{bmatrix},
\mathbf{I\_2}=\begin{bmatrix} 1&0\0&1\end{bmatrix},
\mathbf{I\_3}=\begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}, \cdots
$$

Identity matrix 乘以任何 vector 都會維持 vector 本身

$$
\mathbf{I\_n} \vec{x} = \vec{x} \mid \mathbf{I\_2}\vec{x} =
\begin{bmatrix} 1&0\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\end{bmatrix}
$$

並且我們會給予 Identity matrix 每一 column vector 一個 e 的代號

而這些 column vector 不只 span Rn 空間，而且為 linear independence，還是 unit vectors

所以又稱為 stardard basis for Rn

$$
\mathbf{I\_n} =
\begin{bmatrix}\vec{e\_1}&\vec{e\_2}&\cdots&\vec{e\_n}\end{bmatrix}\\
\begin{Bmatrix}\vec{e\_1}&\vec{e\_2}&\cdots&\vec{e\_n} \end{Bmatrix}
\to \text{ standard basis for } \mathbb{R}^n
$$

好了！現在幾乎所有 vector 都可以用 e 來表達

$$
\vec{x}=\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\\\vdots\x\_n\end{bmatrix}=
x\_1\vec{e\_1} + x\_2\vec{e\_2} + \cdots + x\_n\vec{e\_n} = \mathbf{I\_n}\vec{x} =
\begin{bmatrix}x\_1\0\\\vdots\0\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}0\x\_2\\\vdots\0\end{bmatrix}+ \cdots +
\begin{bmatrix}0\0\\\vdots\x\_n\end{bmatrix}
$$

接下來我們將 x 代入 transformation，

$$
\begin{aligned}
T(\vec{x}) &= T(x\_1\vec{e\_1} + x\_2\vec{e\_2} + \cdots + x\_n\vec{e\_n})\\
&= T(x\_1\vec{e\_1}) + T(x\_2\vec{e\_2}) + \cdots + T(x\_n\vec{e\_n}) \\
&= x\_1T(\vec{e\_1}) + x\_2T(\vec{e\_2}) + \cdots + x\_nT(\vec{e\_n}) \\
&= \begin{bmatrix}T(\vec{e\_1})\&T(\vec{e\_2})& \cdots\&T(\vec{e\_n})\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2\\\vdots\x\_n\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

上面證明，**所有的 linear transformation 都可以用 matrix vector product 表示**

舉一個例子

$$
T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\mid T(x\_1,x\_2) = (x\_1+3x\_2, 5x\_2-x\_1,4x\_1+x\_2)
$$

可以表示成等式

$$
T\left(\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}\right) =
\begin{bmatrix}x\_1+3x\_2\ 5x\_2-x\_1\ 4x\_1+x\_2\end{bmatrix}
$$

我們可以先用 Identity matrix 表達 vector 並且進行 transform

$$
\begin{aligned}
T(\mathbf{I\_2}) &=
\begin{bmatrix}T\left(\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}\right) & T\left(\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\right)\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}1&3\\-1&5\4&1\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

而 x 的 transformation 就可以表達成 matrix vector product

$$
T\left(\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}\right) =
\begin{bmatrix}1&3\\-1&5\4&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}
$$

## Image of a subset under a transformation

* <https://youtu.be/MIAmN5kgp3k>

我們來將 3 個向量所圍起來的三角形，進行 linear transformation，這三個向量分別為

$$
x\_0 = \begin{bmatrix}-2\\-2\end{bmatrix},
x\_1 = \begin{bmatrix}-2\2\end{bmatrix},
x\_2 = \begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}
$$

而三角形 S = {L1, L2, L3} 分別為

$$
\begin{aligned}
L\_1 &= \begin{Bmatrix} \vec{x\_0} + t(x\_1-x\_0) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix}\\
L\_2 &= \begin{Bmatrix} \vec{x\_2} + t(x\_0-x\_2) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix}\\
L\_3 &= \begin{Bmatrix} \vec{x\_1} + t(x\_2-x\_1) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix}\\
\mathbf{S} &= \begin{Bmatrix} L\_1, L\_2, L\_3 \end{Bmatrix}
\end{aligned}
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjm0-l7erMlyu4R%2Ftransaction_before.jpg?generation=1568692889561329\&alt=media)

我們現在使用 matrix 來定義 transformation 為

$$
T(\vec{x}) = \begin{bmatrix}1&-1\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\end{bmatrix}
$$

那對這些 L1, L2, L3 進行 transformation 會怎麼樣呢

$$
\begin{aligned}
T(L\_1) &= \begin{Bmatrix} T(\vec{x\_0}+t(\vec{x\_1}-\vec{x\_0})) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix} \\
&= \begin{Bmatrix} T(\vec{x\_0})+T(t(\vec{x\_1}-\vec{x\_0})) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix}\\
&= \begin{Bmatrix} T(\vec{x\_0})+tT(\vec{x\_1}-\vec{x\_0}) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix} \\
&= \begin{Bmatrix} T(\vec{x\_0})+t(T(\vec{x\_1})-T(\vec{x\_0})) \mid 0 \le t \le 1\end{Bmatrix}
\end{aligned}
$$

我們成功的將 L 直線的 transformation 轉為每個 vector 的 transformation

所以我們可以把每個 vector 的 transformation 算出來，再放回我們拆好的式子裡

$$
T(\vec{x\_0})=
\begin{bmatrix}1&-1\2&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-2\\-2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0\\-4\end{bmatrix}\\

T(\vec{x\_1})=
\begin{bmatrix}1&-1\2&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-2\2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-4\\-4\end{bmatrix}\\

T(\vec{x\_2})=
\begin{bmatrix}1&-1\2&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}4\4\end{bmatrix}
$$

接著再把這些已經 transform 的 vector 代回 T(L) 的式子中，即可得到 L1, L2, L3

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjoG5boQ72kdNnL%2Ftransaction_after.jpg?generation=1568692900062113\&alt=media)

我們稱這些經過 transformation 的直線或三角形為 **Image of XXX under T**

$$
T(L\_0) \text{ is the image of } L\_0 \text{ under } T \\
T(S) \text{ is the image of } S \text{ under } T
$$

## Image of a transformation

* <https://youtu.be/hZ827mfh1Jo>

上面我們將 subset of vectors 轉換成另一個 subset 很成功，

那麼將 subspace 轉換成另一個 subspace 得到的 image 還能符合 subspace 的條件嗎？

$$
\mathbf{V} \text{ subspace in } \mathbb{R}^n \\
\begin{aligned}
\vec{a}, \vec{b} \in \mathbf{V} &\Rightarrow \vec{a} +\vec{b} \in \mathbf{V} \\
&\Rightarrow c\vec{a} \in \mathbf{V} \\
&\Rightarrow \vec{0} \in \mathbf{V}
\end{aligned}
$$

我們定義好 Transformation 和代表他的 matrix ，並把 a, b vector 帶進來看看

$$
T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\\
T(\mathbf{V}): \text{ image of }\mathbf{V} \text{ under } T \\

\begin{aligned}
\&T(\vec{a}), T(\vec{b}) \in T(\mathbf{V})\\
\text{OK! },,\&T(\vec{a})+T(\vec{b}) = T(\color{red}{\vec{a}+\vec{b}}) \in T(\mathbf{V})\\
\text{OK! },,\&cT(\vec{a}) = T(\color{red}{c\vec{a}}) \in T(\mathbf{V})
\end{aligned}
$$

因為 a+b 和 ca 都已經屬於 subspace V 了，所以在轉換後依然為合理的 subspace

那如果將整個 Rn 轉換到 Rm 呢？

$$
\begin{aligned}
\&T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \\
\&T(\mathbb{R}^n): \text{ image of } \mathbb{R}^n \text{ under }T =
\color{blue}{
\begin{Bmatrix}
T(\vec{x}) \mid \vec{x} \in \mathbb{R}^n
\end{Bmatrix}
}= \text{Range of } T
\end{aligned}
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjqjhb0nwSrjw6W%2Fimage_of_transformation.jpg?generation=1568692889548678\&alt=media)

我們把整個轉換過去的 T(Rn) 稱為 **range of T** 或者是 **Image of T** 然後標記為 **Im(T)**

所以我們可以把 transformation 如此表示

$$
\begin{aligned}
T(\vec{x}) &= \mathbf{A}\vec{x} =
\begin{Bmatrix} \mathbf{A}\vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb{R}^n \end{Bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix} \vec{a\_1} &\vec{a\_2}&\cdots&\vec{a\_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1 \x\_2\ \vdots \x\_n\end{bmatrix} =
x\_1\vec{a\_1}+x\_2\vec{a\_2}+\cdots+x\_n\vec{a\_n} \\
&= span(\vec{a\_1}, \vec{a\_2}, \cdots,\vec{a\_n}) \\
&= \text{Column space of } \mathbf{A}\\
&= C(\mathbf{A})
\end{aligned}
$$

原來 transformation 可以表示為 matrix A 和 vector x 的乘積，而且還是 matrix A 的 column space

## Preimage of a set

* <https://youtu.be/zVsGtU8lIWs>

我們已經知道整個 Rn 轉換過去的 subset 叫作 Image of Rn under T

那我們現在想要從 co-domain 來得知有哪些 domain 轉換過去，要怎麼表示？

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSjsfywdT91SdvV1%2Fpreimage.jpg?generation=1568692904575173\&alt=media)

我們想知道 X 底下有哪些 subset 可以 transform 到 Y 底下的 S subset，我們可以這樣表示

$$
T^{-1}(\mathbf{S}) =
\begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbf{X} \mid T(\vec{x}) \in \mathbf{S}\end{Bmatrix} \\
T^{-1}(\mathbf{S}) : \text{ Preimage of }\mathbf{S} \text{ under } T
$$

> 問個有趣問題，那麼 preimage 經過 transformation 會變為什麼呢
>
> $$
> T(T^{-1}(\mathbf{S})) \subseteq S
> $$
>
> \=> 會屬於 S 的 subset ，不一定要對到所有 S

## Preimage and kernel

* <https://youtu.be/6yrPU8rYOhs>

我們來舉個例子從 image subset 以及 transformation matrix 來找出 preimage x

$$
T(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x} =
\begin{bmatrix} 1&3\2&6 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2 \end{bmatrix},
\mathbf{S} =\
\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix} \end{Bmatrix}
$$

白話來說就是，在二維空間中，有哪些東西經過 transform 會變成 \[0, 0] 或者是 \[1, 2]

$$
\begin{aligned}
T^{-1}(\mathbf{S})
&= \text{preimage of }\mathbf{S} \text{ under } T\\
&= \begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbb{R^2}\mid T(\vec{x}) \in \mathbf{S} \end{Bmatrix}\\
&= \begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbb{R^2}\mid
\mathbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix} \text{ or }
\mathbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix}1\2\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}

\end{aligned}
$$

等於要解出以下方程式，我們以找出 \[0, 0] 的 preimage 為例

$$
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix} 1&3\2&6 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix}\\
\Rightarrow ,,,&
\begin{bmatrix}\begin{array}{cc|c}  1&3&0\2&6&0 \end{array}\end{bmatrix}\\
\Rightarrow ,,,&
\begin{bmatrix}\begin{array}{cc|c}  1&3&0\0&0&0 \end{array}\end{bmatrix}\\
\Rightarrow ,,,&
x\_1 +3x\_2 = 0\\
\Rightarrow ,,,&
x\_1 = -3x\_2\\
\Rightarrow ,,,&
\begin{bmatrix} x\_1\x\_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} -3x\_2\x\_2 \end{bmatrix} =
\begin{Bmatrix} t\begin{bmatrix} -3\1 \end{bmatrix} \mid x\_2=t, t\in \mathbb{R}\end{Bmatrix}
\end{aligned}
$$

也就是 t(-3, 1) 的這條直線 (subset) 上任何一點，經過 transformation 就會回到原點

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSju0HKPtC9nLQqR%2Fkernel.jpg?generation=1568692899980359\&alt=media)

像這樣有 subset 經過 transformation 後回到原點的現象，我們稱這個 subset 為 **kernel of T**

$$
ker(T) = \begin{Bmatrix} \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \mid T(\vec{x}) =
\begin{Bmatrix}\vec{0}\end{Bmatrix}
\end{Bmatrix} \\
$$

而有趣的是，他跟 A 的 null space 是一樣的

$$
T(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x}\\
ker(T) = N(\mathbf{A})
$$

## Sums and scalar multiples of linear transformations

* <https://youtu.be/wHuY97vss18>

Linear transformation 利用 matrix 表達也能夠使用相同的 properties

$$
\begin{aligned}
S&: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\\

Def&: (S+T)(\vec{x}) = S(\vec{x})+T(\vec{x})\\
&:(S+T) \text{ still is } \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\\\\
Def&: (cS)(\vec{x}) = c(S(\vec{x}))\\
&: (cS) \text{ still is } \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m

\end{aligned}
$$

這些 properties 在改變成 matrix 表示時也可以使用

* 加法

$$
\begin{aligned}
(S+T)(\vec{x}) &= S(\vec{x})+T(\vec{x})\\
&=\mathbf{A}\vec{x} + \mathbf{B}\vec{x}\\
&= (\mathbf{A}+\mathbf{B})\vec{x}\\
&= \begin{bmatrix}\vec{a\_1}+\vec{b\_1}&\vec{a\_2}+\vec{b\_2}&\cdots&\vec{a\_n}+\vec{b\_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\\\vdots\x\_n\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

* 乘法

$$
\begin{aligned}
(cS)(\vec{x}) &= c(S(\vec{x}))\\
&= c\mathbf{A}\vec{x}\\
&= c(x\_1\vec{a\_1}+x\_2\vec{a\_2}+\cdots+x\_n\vec{a\_n}) \\
&= x\_1c\vec{a\_1} + x\_2c\vec{a\_2} + \cdots + x\_nc\vec{a\_n} \\
&= \begin{bmatrix}c\vec{a\_1} & c\vec{a\_2} &\cdots\&c\vec{a\_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\\\vdots\x\_n\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$