Inverse functions and transformations

Inverse of a function

• https://youtu.be/-eAzhBZgq28

我們先複習一下 function

$$\begin{aligned} &f: X \to Y \\ &f(a) = b \end{aligned}$$

還有 Identity function

$$\mathbf{I_x}: X \to X \\ \mathbf{I_x}(a) = a \mid a\in X$$

任何值經過 identity function 運算後，還是自己

看起來很無用，但他可以幫助我們很多，例如在底下的 inverse function 的證明中就可以用到他

Invertible

這邊講的是可逆函數 (invertible function)，

指的是 function 能透過對應的 inverse function 將值運算回自己

$$\begin{aligned} f&:X\to Y\\ f^{-1}&:Y\to X \end{aligned}$$

所以一個 function 可逆我們定義為

$$\begin{aligned} f:X\to Y \text{ invertible } \iff &\text{there exists } f^{-1}:Y\to X\\ &\text{s.t. }f^{-1} \circ f = \mathbf{I_x} \\ &\text{and } f\circ f^{-1} = \mathbf{I_y} \end{aligned}$$

為什麼 function 和 inverse function 的組合會變成 Identity function

因為 f 先做，會從 X 變成 Y，這時 f-1 從 Y 再變回 X，就像在 X 執行 Identity function 一樣

$$f^{-1}\circ f: (X\to Y) \to X$$

另外一邊也是，換用函數方法表示

$$f\circ f^{-1}: f(f^{-1}(b)) = b \mid b \in Y$$

那任何 function 只要為 invertible ，他對應的 inverse function 是唯一的嗎？

$$\text{ Is } f^{-1} \text{ unique ?}$$

我們假設 f 有兩個 inverse function g 和 h

$$f: X \to Y\\ g: Y \to X\\ h: Y \to X$$

也就是說

$$\begin{aligned} g\circ f = \mathbf{I_x}\\ f\circ g = \mathbf{I_y}\\\\ h\circ f = \mathbf{I_x}\\ f\circ h = \mathbf{I_y}\\ \end{aligned}$$

現在我們將 g 表示為跟 identity function 的 composition

沒有什麼問題，等於 g 讓 Y 變到 X 再變到 X 一樣

$$\begin{aligned} g &= \mathbf{I_x}\circ g\\ &= (h\circ f)\circ g \\ &= h \circ (f \circ g) \\ &= h\circ \mathbf{I_y} \\ &= h \end{aligned}$$

第二和三行：Ix 等於 h 和 f 的 composition ，而我們學過 transformation 是有 associative 的

第四行：f 和 g 等於 Iy，表示先從 Y 轉到 Y，再從 Y 轉到 X，跟直接 h 是一樣的

第五行：所以 g = h 表示 inverse function 是 unique 的

Invertibility implies a unique solution to f(x)=y

• https://youtu.be/7GEUgRcnfVE

上面證明只要 function 是 invertible ，其對應的 inverse function 就是 unique

現在我們想知道，若 function 是 invertible 那麼 x 是唯一從 f 變成 y 的值嗎？

我們先假設任何 y ，都有一個唯一的 x 經過 f(x) = y ，然後稱這個假設為函數 S

$$S: Y\to X \\ S(y): \text{ The unique solution in } x \text{ to } f(x) = y$$

現在有任意一個變數 b 在 Y subset 裡面， S(b) 代表的就是 X 中那一個會變成 b 的唯一 x

$$S(b) = \text{the unique solution to }f(x) =b\\ \Rightarrow f(S(b)) = b$$

我們將這個式子展開，發現 f 和 S 可以表示為 Iy ，因為先從 Y 到 X 再回 Y

$$\begin{aligned}f(S(b)) &= (f \circ S)(b)\\ &= \mathbf{I_y} b\\ &= b \end{aligned}$$

先把這個記起來，我們反過來看另外一邊

若有 a 透過 f(a) 從 X 變到 Y，那麼對 f(a) 做 S transformation 能變回 a 嗎？

因為我們早已定義 S 會幫我們找到唯一的 x 值，所以很明顯要找的 x 就是 a

$$S(f(a)) = \text{ the unique solution to } f(x) = f(a) \Rightarrow x = a$$

我們也將這個式子展開

$$\begin{aligned} S(f(a)) &= (S \circ f)(a)\\ &= \mathbf{I_x}a\\ &= a \end{aligned}$$

我們發現 f 和 S 正是 invertible 的結果

$$(f\circ S) = \mathbf{I_y}\\ (S\circ f) = \mathbf{I_x}\\$$

所以結論：若 f 為 invertible ，任何 y 都是由唯一的 x 經過 f 而取得

$$f:X\to Y \text{ invertible} \iff \forall y\in Y:\exist \text{ unique solution } x \text{ to } f(x) =y$$

Surjective (onto) and injective (one-to-one) functions

• https://youtu.be/xKNX8BUWR0g

Surjective (onto)

所有的 y 至少都會有一個 x map 到他，符合 f(x) = y

$$\text{Every } y \in Y \,\exist \text{ at LEAST one }x\in \text{ such that } f(x) = y$$

我們知道 Image 不一定要 map 到所有的 Y，但 onto 將會 map 到整個 Y

$$Im(f) = Y = \text{range}(f)$$

之前學過：Range 代表的是 x map 到 y 的 subset 範圍

舉個例子，所有的 Y 都至少有一人 map 到他

Injective (one-to-one)

所有的 y 只要有人 map 到他，都會是唯一，而上面例子中， 4 和 5 就不符合 one-to-one

$$\text{For any }y \in Y \text{ at MOST one }x\in X \text{ such that } f(x) = y$$

注意的是，可以有 y 不被任何人 map 到，但不可以一次有兩個以上的人 map 到 y

Relating invertibility to being onto and one-to-one

• https://youtu.be/QIU1daMN8fw

現在我們可以重新定義 invertible，我們知道 invertible 原本的定義如下

$$f:X\to Y \text{ invertible} \iff \forall y\in Y:\exist \text{ unique solution } x \text{ to } f(x) =y$$

首先 所有的 y 都有一個 unique solution x 來對應他，這正好就是 surjective (onto) 的定義

再來 所有的 y 都有一個 unique solution x 來對應他，這正好也是 injective (one-to-one) 的定義

所以為了滿足 f is invertible， f 必須要滿足 surjective 以及 injective 兩者

\begin{aligned} f:X\to Y \text{ invertible} \iff &f \text{ is surjective & injective} \\ &f \text{ is onto & one-to-one} \end{aligned}

Determining whether a transformation is onto

• https://youtu.be/eR8vEdJTvd0

前面都是直接用定義和圖案來觀察 transformation 是否符合 onto，

我們知道 transformation 還可以轉為 matrix vector product

$$\begin{aligned} &\vec{x} \in \mathbb{R}^n \\ &T(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \in \mathbb{R}^m \end{aligned}$$

用 matrix 來表示 transformation 時的 onto 定義為

$$\begin{aligned} &\text{for every }\vec{b} \in \mathbb{R}^m \\ &\exist \text{ at least one solution } \vec{x} \text{ to } \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b}\\ &\text{where } \vec{x} \in \mathbb{R}^n \end{aligned}$$

我們知道 Ax 相乘其實就是 A 的 linear combination

而這個 combination 將會生成任意的 b in Rm

$$\begin{aligned} &\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \vec{a_1}&\vec{a_2}&\cdots&\vec{a_n} \end{bmatrix}, \vec{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} \\ &\mathbf{A}\vec{x} = x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2} + \cdots + x_n\vec{a_n} \end{aligned}$$

所以要能夠滿足 onto Rm ，代表 A 的 column space 必須要能夠 span Rm

$$\begin{aligned} span(\vec{a_1},\vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n} ) &= \mathbb{R}^m \\ C(\mathbf{A}) &= \mathbb{R}^m \end{aligned}$$

若 Ax 沒有 span 整個 Rm，代表沒有 onto

沒有 onto，代表 Ax = b 的 [A | b] 化簡為 [R (rref) | c] 時

會有一行全為 0 但結果不為 0 (no solution)

$$\begin{bmatrix}\begin{array}{c|c} &b_1 \\\mathbf{A}&\vdots\\&b_n\end{array}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\begin{array}{cccc|c} 1&0&\cdots&0& \\ 0&1&\cdots&0&\\ 0&0&\cdots&0&2b_1+3b_2+\cdots\end{array}\end{bmatrix} = \text{Can't span } \mathbb{R}^m$$

若 Ax 可以 span 整個 Rm，代表 onto

有 onto，代表 rref(A) 必須在每一個 row 都出現 pivot entry，也就是每一行都是 pivot column

$$\begin{aligned} T \text{ is Onto} &\iff C(\mathbf{A}) = \mathbb{R}^m\\ &\iff m \text{ pivot entries} \\ &\iff m \text{ pivot columns} \\ &\iff \text{Rank}(\mathbf{A}) = \text{dim}(C(\mathbf{A})) = m \end{aligned}$$

在矩陣上就是 A 變到 rref(A) 之後，每一個 row 都有一個 leading one

$$\begin{aligned} &\mathbf{A} = &&\begin{bmatrix} \vec{a_1}&\vec{a_2}&\cdots&\vec{a_m}\end{bmatrix}\\\\ &\downarrow \text{rref}(\mathbf{A}) &&\downarrow\\\\ &\mathbf{R} = &&\begin{bmatrix} 1_1&0&\cdots&0\\ 0&1_2&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&1_m\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \text{span}(\mathbb{R}^m) \Rightarrow \text{Onto} \end{aligned}$$

舉個例子，來確認 S 這個 transformation 是否符合 onto

$$S = \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, S(\vec{x}) = \begin{bmatrix} 1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix} \vec{x}$$

我們將 S matrix 化簡為 rref，發現只有 2 pivot entries

$$\begin{bmatrix} 1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&2\\0&2\\0&4\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&2\\0&1\\0&4\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix} \Rightarrow \text{rank}\left(\begin{bmatrix} 1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix} \right) = 2$$

所以 S 的 rank 為 2，S 不是 onto，也代表 S 不可能是 invertible

Exploring the solution set of Ax = b

• https://youtu.be/1PsNIzUJPkc

我們來看一個 linear transformation

$$\begin{aligned} &T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \\ &T(\vec{x}) = \begin{bmatrix} 1&-3\\-1&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\b_2 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & -3 &b_1 \\-1&3&b_2 \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & -3 &b_1 \\0&0&b_1+b_2 \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

我們發現這個 transformation 已經不可能是 onto

但我們可以知道，要讓 b 有結果， b1 + b2 必須等於 0

$$b_1 + b_2 = 0 \rightarrow b_1 = -b_2$$

也就是說任何 x 經過 T 一定要在 b1 = -b2 直線上的任何一點，才是有 solution

因為只有變成這條直線，沒有 span 整個 R2 ，所以 T 當然是沒有 onto 的

但我們可以找找看到底 domain 在哪裡

首先必須先遵守 b1 + b2 = 0 的原則，並且從第一列我們得到解

$$x_1-3x_2 = b_1 \\ x_1 = b_1 + 3x_2$$

也就是說只有 x vector (domain) 等於以下時，才會轉換到 b1 + b2 = 0 的直線上

$$\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\0 \end{bmatrix}+ x_2 \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}$$

例如當 b 為 [5, -5] 時，domain 為

$$\vec{x} = \begin{bmatrix} 5\\0 \end{bmatrix}+ x_2 \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}$$

淺藍色的直線就是我們的 x vector (domain)，上面的任何一點經過 T 都會 map 到 [5, -5]

當 b = [4, -4] 時， domain 就是 [4, 0] + x2 * [3, 1]

我們很好的 visualize 這個 transformation

那若我們要 map 到 b = [0, 0] 會發生什麼事

這時候 x 代表的就是 null space of A 了 ! 在這個例子就是 [3, 1] 乘以任何 scalar

$$\begin{aligned} &\mathbf{A}\vec{x} = \vec{0} \\ &\vec{x} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}+ x_2 \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix} \in N(\mathbf{A}) \end{aligned}$$

所以我們可以把 solution set 統整為某個 particular vector 和 null space 的組合

$$\begin{aligned} &\text{Assuming } \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \text{ has a solution} \\ &\text{The solution set = } \begin{Bmatrix} \vec{x_p} \end{Bmatrix}\cup N(\mathbf{A}) \end{aligned}$$

會在之後證明

而我們想要讓一個 transformation 能夠 one-to-one => 最多一個解

那這個 solution set 裡面的 null space 勢必要 empty 、空向量、zero vector

Matrix condition for one-to-one transformation

• https://youtu.be/M3FuL9qKTBs

我們知道要求 null space of A 的方法

$$N(\mathbf{A}) = \mathbf{A}\vec{x} = \vec{0} \\ \begin{bmatrix} \mathbf{A} \mid \vec{0} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \text{rref}(\mathbf{A}) \mid \vec{0} \end{bmatrix}$$

我們會得到類似這樣的 homogeneous solution

$$\vec{x} = a\vec{n_1} + b\vec{n_2} + \cdots + c\vec{n_n} \\ N(\mathbf{A}) = \text{span}(\vec{n_1}, \vec{n_2}, \cdots, \vec{n_n})$$

而要求得 b 有解，也就是要取得 inhomogeneous solution 的方法

$$\mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \\ \begin{bmatrix} \mathbf{A} \mid \vec{b} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \text{rref}(\mathbf{A}) \mid \vec{b}' \end{bmatrix}$$

我們會得到 particular solution + homogeneous solution

$$\begin{aligned} \vec{x} &= \vec{b}' + a\vec{n_1} + b\vec{n_2} + \cdots + c\vec{n} \\ &= \vec{x_p} + \vec{x_h} \end{aligned}$$

現在我們來證明這個 claim

$$\text{Any solution to the inhomogeneous system } \mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \\ \text{ will take the form } \vec{x_p} + \vec{x_h}$$

1. 將 xp + xh 帶入 A transformation，果然為 x 的解

$$\begin{aligned} &\text{Is }\vec{x_p} + \vec{x_h} \text{ a solution to }\mathbf{A}\vec{x} = \vec{b} \text{ ?} \\\\ &\mathbf{A}(\vec{x_p} + \vec{x_h}) = \mathbf{A}\vec{x_p} + \mathbf{A}\vec{x_h} = \vec{b}+\vec{0} = \vec{b} \end{aligned}$$

因為 A*xp 為 Ax = b 的特定解，所以為 b 向量

因為 A*xh 為 Ax = 0 的解，所以為 0 向量

1. 利用任何 x 來減掉 xp ，最後也可以導出 xp + xh 為 x 的解

$$\begin{aligned} &\text{Is any solution }\vec{x} \text{ to }\mathbf{A}\vec{x}=\vec{b} \text{ takes the form } \vec{x} = \vec{x_p} + \vec{x_h} \text{ ?} \\\\ &\text{Assume }\vec{x} \text{ is any solution to }\mathbf{A}\vec{x} = \vec{b}\\ &\mathbf{A}(\vec{x} - \vec{x_p}) = \mathbf{A}\vec{x} - \mathbf{A}\vec{x_p} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0} \end{aligned}$$

也就是說

$$(\vec{x}-\vec{x_p}) \text{ is a solution to }\mathbf{A}\vec{x} = \vec{0} \\ (\vec{x}-\vec{x_p}) \text{ is a member of }N(\mathbf{A})\\ (\vec{x}-\vec{x_p}) = \vec{x_h} \\ \vec{x} = \vec{x_p} + \vec{x_h}$$

證明完所有 x 皆可以化為 particular solution + homogeneous solution 後，我們來看 one-to-one

$$\begin{aligned} \text{Under one-to-one condition:}\\ \text{Any solution} &= \begin{Bmatrix}\vec{x_p} + \vec{x_h}\mid \vec{x_h} \in N(\mathbf{A}) \end{Bmatrix} \text{ can only be 1 solution}\\ &\Rightarrow N(\mathbf{A}) = \begin{Bmatrix} \vec{0} \end{Bmatrix} \end{aligned}$$

也就是說要符合 one-to-one 的話，Ax = 0 (null space) 只能有 0

$$\begin{bmatrix}\vec{a_1}&\vec{a_2}&\cdots&\vec{a_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix} = x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2} + \cdots+ x_n\vec{a_n} = \vec{0}$$

因為只能有 0 向量，所以

$$x_1, x_2, \cdots, x_n = 0$$

好像似曾相識，代表在 one-to-one 時：

$$\begin{aligned} C(\mathbf{A}) &= \text{span}(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n})\\ &\Rightarrow \vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n} \text{ are linear independence}\\ &\Rightarrow \vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n} \text{ are a basis for } C(\mathbf{A}) \\ &\Rightarrow \text{dim}(C(\mathbf{A})) = n \\ &\Rightarrow \text{Rank}(\mathbf{A}) = n \end{aligned}$$

xh 也會變成空的，而 any solution 只對應到 particular solution，所以為 one-to-one

$$\text{Any solution} = \begin{Bmatrix}\vec{x_p}\end{Bmatrix} \Rightarrow \text{one-to-one}$$

Simplifying conditions for invertibility

• https://youtu.be/Yz2OosyMTmY

現在來整理一下 invertible 的條件，並簡化 invertible 的敘述

我們要知道以下這個 transformation 是否 invertible

$$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\\ T(\vec{x}) = \mathbf{A} \vec{x} \,\, ( \mathbf{A} \text{ is } m \times n)$$

我們要觀察他有沒有同時滿足 onto 和 one-to-one

$$\begin{aligned} \text{If } T \text{ is invertible: }\\ \text{onto } &&\Rightarrow \text{Rank}(\mathbf{A})= m \\ \text{one-to-one } &&\Rightarrow \text{Rank}(\mathbf{A}) = n \end{aligned}$$

所以 T 要為 invertible，代表他的 matrix A 必須要

$$\text{Rank}(\mathbf{A}) = m = n$$

也就是說 A 會是一個 n × n 的 square matrix

而且 A 的 reduced row echelon form 會是一個 n 階的 identity matrix

因為每一行都必須是 pivot column

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \vec{a_1} & \vec{a_2} & \cdots & \vec{a_n}\end{bmatrix}_{n\times n} \\ \text{rref}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{n \times n} =\mathbf{I_n}$$

所以我們得到結論

$$\begin{aligned} &T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \\ &T(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x} \mid \mathbf{A}_{m \times n }\\ &T \text{ is invertible only if } \text{rref}(\mathbf{A}) = \mathbf{I_n} \end{aligned}$$

Showing that inverses are linear

• https://youtu.be/mr9Tow8hpCg

$$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \mid T(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x} \\ \text{rref}(\mathbf{A}) = \mathbf{I_n}$$

若 T 要 invertible ，那 T 和 inverse 的組合等於在 Rn 不變的 transformation

$$\begin{aligned} T \text{ is invertible} \iff& \exist \text{ some }T^{-1} \text{ s.t.}\\ &T^{-1} \circ T = \mathbf{I_{\mathbb{R}^n}} \\ &T \circ T^{-1} = \mathbf{I_{\mathbb{R}^n}} \end{aligned}$$

我們知道 T 已經是 linear transformation 了，現在想知道 inverse function 是不是 linear

• Linear transformation 的第一條成立

$$\begin{aligned} (T \circ T^{-1})(\vec{a} + \vec{b}) &= T(T^{-1}(\vec{a}+\vec{b})) \\ &= T(\color{red}{T^{-1}(\vec{a})}) + T(\color{red}{T^{-1}(\vec{b})}) \\ &= T(T^{-1}(\vec{a})+ T^{-1}(\vec{b})) & \text{apply }T(\vec{x}+\vec{y}) = T(\vec{x})+T(\vec{y}) \\\\ \color{red}{T^{-1}}T(T^{-1}(\vec{a}+\vec{b})) &= \color{red}{T^{-1}}T(T^{-1}(\vec{a})+ T^{-1}(\vec{b})) & \text{ multiply } T^{-1} \text{ to both side} \\ (T^{-1}\circ T)(T^{-1}(\vec{a}+\vec{b})) &= (T^{-1}\circ T)(T^{-1}(\vec{a})+ T^{-1}(\vec{b})) \\ (\mathbf{I}_{\mathbb{R^n}})(T^{-1}(\vec{a}+\vec{b})) &= (\mathbf{I}_{\mathbb{R^n}})(T^{-1}(\vec{a})+ T^{-1}(\vec{b}))\\ T^{-1}(\vec{a}+\vec{b}) &= T^{-1}(\vec{a})+ T^{-1}(\vec{b}) \end{aligned}$$

• Linear transformation 的第二條也成立

$$\begin{aligned} (T\circ T^{-1})(c\vec{a}) &= c\vec{a} & \text{apply } \vec{a} = (T\circ T^{-1})\vec{a}\\ &= c(T \circ T^{-1})(\vec{a}) \\\\ (T\circ T^{-1})(c\vec{a}) &= c(T \circ T^{-1})(\vec{a})\\ T(T^{-1}(c\vec{a})) &= \color{red}{cT(T^{-1}(\vec{a})) = T(cT^{-1}(\vec{a}))} & \text{apply }T(c\vec{x}) = cT(\vec{x}) \\ T^{-1}(T(T^{-1}(c\vec{a})))&= T^{-1}(T(cT^{-1}(\vec{a}))) & \text{ multiply } T^{-1} \text{ to both side} \\ (T^{-1}\circ T)(T^{-1}(c\vec{a})) &= (T^{-1}\circ T)(cT^{-1}(\vec{a}))\\ T^{-1}(c\vec{a})&= cT^{-1}(\vec{a}) \end{aligned}$$

我們可以確立當 T 是 linear 時， inverse 也會是 linear

而且是 linear 就代表，inverse function 也能使用 matrix vector product 來表示！

\begin{aligned} T&: \text{ linear transformation & invertible}\\ \Rightarrow\,\, T^{-1}&: \text{ also linear transformation } \rightarrow T^{-1}(\vec{x}) = \mathbf{A}^{-1}\vec{x} \end{aligned}

更厲害的是我們知道 T 和 inverse 的組合會得到 identity matrix of n

$$(T^{-1} \circ T)(\vec{x}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}\vec{x} = \mathbf{I_\mathbb{R^n}}\vec{x} = \mathbf{I_n}\vec{x} \\ (T \circ T^{-1})(\vec{x}) = \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\vec{x} = \mathbf{I_\mathbb{R^n}}\vec{x} = \mathbf{I_n}\vec{x}$$

所以 matrix A 和他的 inverse matrix 也會得到 identity matrix of n

$$\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I_n}$$

可以說是 matrix multiplication 中，交換律 (commutative) 的例外

$$AB \neq BA$$

要怎麼求出 A 的 inserse matrix，我們留到下一章節