Subspaces and the basis for a subspace

$$\begin{aligned} \text{Subspace }\mathbf{V} = span&\left(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots \vec{v_n} \right)\\ &\begin{Bmatrix} \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots \vec{v_n} \end{Bmatrix} \text{ is linear independence} \\\\ \text{then}\\\\ \mathbf{S} &= \begin{Bmatrix} \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots \vec{v_n} \end{Bmatrix} \\ \mathbf{S} &\text{ is a } \bold{Basis} \text{ for }\mathbf{V} \end{aligned}$$

• 若利用 Minimum set of vectors 來 span 該 subspace V

• 也就是 span subspace V 的向量都是 linear independence 時

• 這些向量的集合稱為該 Subspace 的 Basis

我們舉個例子 T

$$\mathbf{T} = \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \end{Bmatrix}$$

首先他可以 span R2 子空間

$$\begin{aligned} c_1\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} \\ c_1 + 0 = x_1, c_1 &= x_1\\ 0 + c_2 = x_2, c_2 &= x_2\\ \end{aligned}$$

並且他為 linear independence

$$\begin{aligned} c_1\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix} \\ c_1 + 0 = 0, c_1 &= 0\\ 0 + c_2 = 0, c_2 &= 0\\ \end{aligned}$$

所以 T 為 R2 的 basis (而且是 standard basis)

而這些 vectors 所生成的任一個向量在 Subspace 中都是獨一無二的 :

$$\begin{aligned} \vec{a} &\in \mathbf{V}, \\ \vec{a} &= c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + \cdots + c_n\vec{v_n} \\ \vec{a} &= d_1\vec{v_1} + d_2\vec{v_2} + \cdots + d_n\vec{v_n} \text{ (subtract)} \\ \vec{0} &= (c_1-d_1)\vec{v_1} + (c_2-d_2)\vec{v_1} + \cdots + (c_n-d_n)\vec{v_n} \end{aligned}$$

因為相減還是在 subspace 裡面，並且滿足 basis (linear independent)，所以 :

$$\begin{aligned} c_1 - d_1 &= 0 \\ c_2 - d_2 &= 0 \\ c_n - d_n &= 0 \\ c_n &= d_n \end{aligned}$$

證明了生成的向量為唯一