Linear combinations and spans

• https://youtu.be/Qm_OS-8COwU

向量加上任意 實數 scalar 後，並且透過加法組合在一起時，產生一個 線性 的組合即為 Linear combination

$$a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2}+ \cdots + a_n\vec{v_n}. | a_n \in \mathbb{R}$$

舉個例子，以下兩個向量經過與 scalar 相乘後，可以組合並且表示一個新的向量

$$3 \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 0\\ 3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\\ 12\end{bmatrix}$$

因為 Vectors 可以與任意實數相乘，產生的 linear combination 就可以任意表示其他向量，這個現象叫作 Span

例如以下兩個向量不管 a1 和 a2 為何，在 combine 之後只能 span 這兩條向量原本的那條線

$$\begin{aligned} a_1 \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}+ a_2\begin{bmatrix} 2\\ 4\end{bmatrix}&=\\ a_1 \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}+ 2a_2\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}&=\\ a_1 +2a_2 \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}&= a\begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} \end{aligned}$$

而底下兩個向量 (1,0) 和 (0,1) 卻可以 span 整個二維平面的任意兩點，我們可以這樣表示

$$\begin{aligned} &\vec{v_1} = (1,0), \vec{v_2} = (0,1)\\ &a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} = \mathbb{R}^2 \end{aligned}$$