# Linear combinations and spans

* <https://youtu.be/Qm_OS-8COwU>

向量加上任意 **實數 scalar** 後，並且透過加法組合在一起時，產生一個 **線性** 的組合即為 ***Linear combination***

$$
a\_1\vec{v\_1} + a\_2\vec{v\_2}+ \cdots + a\_n\vec{v\_n}. | a\_n \in \mathbb{R}
$$

舉個例子，以下兩個向量經過與 scalar 相乘後，可以組合並且表示一個新的向量

$$
3 \begin{bmatrix} 1\ 2\end{bmatrix}
+2 \begin{bmatrix} 0\ 3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 3\ 12\end{bmatrix}
$$

因為 Vectors 可以與**任意**實數相乘，產生的 linear combination 就可以任意表示其他向量，這個現象叫作 ***Span***

例如以下兩個向量不管 a1 和 a2 為何，在 combine 之後只能 span 這兩條向量原本的那條線

$$
\begin{aligned}
a\_1 \begin{bmatrix} 1\ 2\end{bmatrix}+
a\_2\begin{bmatrix} 2\ 4\end{bmatrix}&=\\
a\_1 \begin{bmatrix} 1\ 2\end{bmatrix}+
2a\_2\begin{bmatrix} 1\2\end{bmatrix}&=\\
a\_1 +2a\_2 \begin{bmatrix} 1\ 2\end{bmatrix}&=
a\begin{bmatrix} 1\ 2\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNVBs6jSTfdfzwlZI%2Flinear_combination1.jpg?generation=1568692898733817\&alt=media)

而底下兩個向量 (1,0) 和 (0,1) 卻可以 **span** 整個二維平面的任意兩點，我們可以這樣表示

$$
\begin{aligned}
&\vec{v\_1} = (1,0), \vec{v\_2} = (0,1)\\
\&a\_1\vec{v\_1} + a\_2\vec{v\_2} = \mathbb{R}^2
\end{aligned}
$$