# Linear dependence and independence

* <https://youtu.be/CrV1xCWdY-g>

有了 linear combination 和 span 的知識後，很簡單就可以了解 Linear dependence / independence 的意義，

當你想要 span 某個東西時，使用不多不少剛剛好的向量來表示即為 ***Linear Independence***

> 例如使用 (1, 0) 和 (0, 1) 來 span 整個 R2 平面時，這兩個向量即為線性獨立

而在 span 時，使用了 **多餘** 的向量，這個向量和本來就足夠的向量，形成了 ***Linear Dependence***

> 例如本來只用 (1, 0) 和 (0, 1) 已經可以 span R2 ，
>
> 但我又加了向量 (1, 3) 來形成 R2 平面， (1, 3) 和另外兩個向量即為線性依賴

* <https://youtu.be/Alhcv5d_XOs>
* 正式一點的定義為
  * 當 linear combination 中有任意一個向量可以被表示為其他向量的加總時
  * 或是某個向量的 scalar 不為 0 卻可以讓整個 linear combination 變為 0 時
  * 即為 **Linear dependence**

$$
\begin{aligned}
\text{Linear dependent} &\iff a\_1\vec{v\_1} + a\_2\vec{v\_2}+\cdots+a\_n\vec{v\_n} = 0 = \begin{bmatrix} 0\\\vdots\0 \end{bmatrix}\\
&\iff \text{for some }a\_i \text{ , not all are zero, at least one non-zero}\\
v\_1 = a\_2v\_2 + a\_3v\_3+\cdots+a\_nv\_n&\iff
\end{aligned}
$$

上面的定義可以很好的用來檢驗向量間為 linear dependence or linear independence

例如要檢測下面兩個向量是否有 linear dependence

$$
\begin{aligned}
\vec{v\_1} &= (2,1)\ \vec{v\_2} &= (3,2) \\
a\_1\vec{v\_1}+a\_2\vec{v\_2} &= 0 = \begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix}\\
a\_1 \begin{bmatrix}2\1\end{bmatrix} + a\_2 \begin{bmatrix}3\2\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

再將其拆開驗證即可

$$
\left{\begin{matrix}
2a\_1 + 3a\_2 &= 0\\
a\_1 + 2a\_2 &= 0\\
\end{matrix}\right.\\
a\_1 = 0
\a\_2 =0
$$

可以得到結果， v1 和 v2 為 linear independence !

> 3 demension example: <https://youtu.be/9kW6zFK5E5c>