# Vector dot and cross products

## Vector dot product

**Dot product** 有別於 addition 和 scalar multiplication，他將 output 出一個 scalar value

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} a\_1\a\_2\\\vdots\a\_n \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} b\_1\b\_2\\\vdots\b\_n \end{bmatrix} = a\_1b\_1 + a\_2b\_2 + \cdots + a\_nb\_n \text{ (A scalar value)}
$$

例如

$$
\begin{bmatrix} 2\5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2\5\end{bmatrix} =
4+25=29
$$

而向量的 **Length** 可以計算為

$$
\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{\vec{a\_1}^2 + \vec{a\_2}^2 + \cdots + \vec{a\_n}^2}
$$

在二維向量的情況下，計算其 Length 就像 ***Pythagorean Theorem*** 一樣

$$
\vec{a} = \begin{bmatrix} 2\5\end{bmatrix},
\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}
$$

但這個方法卻可以很有效的計算超過二、三維以上的長度，並且我們可以定義為

$$
\begin{aligned}
\lVert \vec{a} \rVert &= \sqrt{\begin{bmatrix} a\_1\a\_2\\\vdots\a\_n\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\_1\a\_2\\\vdots\a\_n\end{bmatrix}} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\\\\

\lVert \vec{a} \rVert^2 &= \vec{a} \cdot \vec{a}
\end{aligned}
$$

## Dot Product Properties

* <https://youtu.be/rVQ3G9epCjw>
* Commutative, Distributive, Associative

$$
\begin{aligned}
&\text{1. } \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v} \\

&\text{2. } \left( \vec{v} + \vec{w} \right) \cdot \vec{x} = \left( \vec{v} \cdot \vec{x}+ \vec{w}\cdot \vec{x} \right) \\

&\text{3. } (c \cdot\vec{v} )\cdot \vec{w} = c \cdot (\vec{v} \cdot \vec{w})
\end{aligned}
$$

* Cauchy-Schwarz inequality: <https://youtu.be/r2PogGDl8_U>

$$
\lvert \vec{x}\cdot\vec{y}\rvert \le \lVert x\rVert \cdot\lVert y\rVert\\\\
\lvert \vec{x}\cdot\vec{y}\rvert = \lVert x\rVert \cdot\lVert y\rVert \iff \vec{x} = c\vec{y} \text{ (co-linear)}
$$

* Triangle inequality: <https://youtu.be/PsNidCBr5II>

$$
\lVert \vec{x} + \vec{y} \rVert \le \lVert \vec{x} \rVert + \lVert \vec{y}  \rVert\\
\lVert \vec{x} + \vec{y} \rVert = \lVert \vec{x} \rVert + \lVert \vec{y}  \rVert \iff \vec{x} = c\vec{y} \mid c>0
$$

我們可以用二維空間來展示，而且好處是可以套用至更高維的空間

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt-VEqKFhRZ6TRj%2Ftriangle_inequality.jpg?generation=1568692905444634\&alt=media)

* Angle between two vectors: <https://youtu.be/5AWob_z74Ks>

$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert \cdot cos\theta\\
\vec{a} &= c\cdot\vec{b} \mid c > 0 \Rightarrow \theta = 0\\
\vec{a} &= c\cdot\vec{b} \mid c < 0 \Rightarrow \theta = 180^\circ \\
\end{aligned}
$$

套用這個公式，我們可以得出當 cos 為 90 度的時候，兩個向量的 dot product 必須為零

$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert \cdot \cos(90^\circ)\\
&= \lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert \cdot 0\\
&= 0
\end{aligned}
$$

所以得出了 **Perpendicular** 的結論，但這個結論不是雙向的，因為 0 vector 不算在裡面

$$
\begin{aligned}
\vec{a}, \vec{b} \text{ are perpendicular} &\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\\
&\Leftarrow \vec{a}, \vec{b} \neq  \mathbf{0}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
\end{aligned}
$$

那如果只有給予兩個向量的 dot product 為零，這個情況稱作為 **orthogonal**

同時也可以知道， 0 vector 可以和任何的向量 **orthogonal**

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a}, \vec{b}\text{ are orthogonal}
$$

## Defining a plane in R3

接下來，將可以透過上面的 properties 以及 **一個點** 和 **一個 normal vector** 來定義出一個平面的 equation

[平面的 equation](https://youtu.be/UJxgcVaNTqY) 可以表示成這樣，也就是給定 (x, y, z) 可以滿足以下等式

$$
Ax + By +Cz = D
$$

我們可以從兩個向量 (a, b) 得到 **躺在平面** 的向量 (a - b)，並且他會與 **normal vector** (n) 相互垂直

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt1v-a6dsmzZkJ1%2F3d_plane.jpg?generation=1568692898108330\&alt=media)

$$
\begin{aligned}
&\vec{n} \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 0 \\
&\begin{bmatrix} n\_1\n\_2\n\_3 \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} a\_1-b\_1\a\_2-b\_2\a\_3-b\_3 \end{bmatrix} = \mathbf{0}\\\\
\&n\_1(a\_1-b\_1) + n\_2(a\_2-b\_2) + n\_3(a\_3-b\_3) = 0 \\
&(Ax+By+Cz = D)
\end{aligned}
$$

舉個例子，假設我們有一個 normal vector 和兩個指到平面的向量

$$
\begin{aligned}
\vec{n} &= (1, 3, -2)\ \vec{x\_0} &= (1,2,3)\ \vec{x} &= (x,y,z)
\end{aligned}
$$

1. 先求出躺在該平面的向量 (x-x0)
2. 再用 dot product 來帶入 n 和 (x-x0) 會等於 0 的結果，就可以得到平面方程式

$$
\vec{n} \cdot \left( \vec{x} - \vec{x\_0}\right) = \mathbf{0}\\
\begin{bmatrix} 1\3\\-2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x-1\y-2\z-3\end{bmatrix} = \mathbf{0}\\
1(x-1)+3(y-2)-2(z-3) =0\\
x-1+3y-6-2z+6=0\\
x+3y-2z=1
$$

1. 其實我們也可以直接帶入剛剛上面的公式

$$
\begin{aligned}
& n\_1(a\_1-b\_1) + n\_2(a\_2-b\_2) + n\_3(a\_3-b\_3)
\\=,&1(x-1)+3(y-2)-2(z-3)\\=,&0
\end{aligned}
$$

## Cross Product

[Cross Product](https://youtu.be/pJzmiywagfY) 只使用於三維空間中， a × b 將會與 a 和 b 互相垂直 (dot product = 0)

> 要注意的是第二列是顛倒的 !

$$
\vec{a} = \begin{bmatrix} a\_1\a\_2\a\_3\end{bmatrix},
\vec{b} = \begin{bmatrix} b\_1\b\_2\b\_3\end{bmatrix},
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a\_2b\_3-a\_3b\_2 \ \color{red}{a\_3b\_1-a\_1b\_3} \ a\_1b\_2-a\_2b\_1 \end{bmatrix}
$$

舉個例子

$$
\begin{bmatrix} 1 \\-7 \1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 \2 \4 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} -7\times4-1\times2 \ \color{red}{1\times5-1\times4} \ 1\times2-(-7)\times5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30 \1 \37 \end{bmatrix}
$$

我們可以利用右手定則看到 cross product 的結果

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt3Thft50Mg-M8w%2Fright_hand_rule.jpg?generation=1568692898257079\&alt=media)

> Relationship between cross product and sin of angle: <https://youtu.be/7MKA2QlKvHc>

$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \lVert \vec{a} \rVert\lVert \vec{b} \rVert \cos(\theta)
\\
\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert &= \lVert \vec{a} \rVert\lVert \vec{b} \rVert \sin(\theta)
\end{aligned}
$$

## Dot and cross product comparison

* <https://youtu.be/tdwFdzVqito>
* Dot Product

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\\
\cos\theta = \frac{adj}{\lVert\vec{a}\rVert}, adj = \lVert\vec{a}\rVert\cos\theta
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt5bGudYqsy2Jxa%2Fdot_product_theta.jpg?generation=1568692898610781\&alt=media)

這個鄰邊 (adj.) 可以說是 a 向量的投影

所以 dot product 可以象徵是 a 向量的**投影**和 b向量在同方向的 **magnitude**

$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{b}\rVert \times adj
$$

> 所以在 theta 等於 90 度 (垂直) 時，投影便會不見，dot product 也會等於 0
>
> 而 theta 等於 0 (平行) 時，則可以得到 dot product 的最大值

$$
\begin{aligned}
&\text{when } \theta = 90^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} =
\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\cos 90^\circ = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\times 0 = 0 \\

&\text{when } \theta = 0^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} =
\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\cos 0^\circ = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\times 1 = 0 = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert
\end{aligned}
$$

* Cross Product

$$
\vec{a} \times \vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\sin\theta\\
\sin\theta = \frac{opt}{\lVert\vec{a}\rVert}, opt = \lVert\vec{a}\rVert\sin\theta
$$

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt7FLTOx00RWqB6%2Fcross_product_theta.jpg?generation=1568692898395001\&alt=media)

這個對邊 (opt.) 可以說是 a 向量垂直於 b 向量的那條線

$$
\vec{a} \times \vec{b} = \lVert\vec{b}\rVert \times opt
$$

> 當 theta 等於 90 度 (垂直) 時，opt 就會變為 a 向量本身，所以得到 cross product 最大值
>
> 當 theta 等於 0 (平行) 時，opt 便會消失，cross product 也會等於 0

$$
\begin{aligned}
&\text{when } \theta = 90^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} =
\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\sin 90^\circ = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\times 1 = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert \\

&\text{when } \theta = 0^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} =
\lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\sin 0^\circ = \lVert\vec{a}\rVert\lVert\vec{b}\rVert\times 0 = 0
\end{aligned}
$$

## Normal vector from plane equation

* <https://youtu.be/gw-4wltP5tY>

我們可以從平面方程式直接得到 **Normal Vector** 的方程式

$$
\begin{aligned}
\text{Plane } \mathbf{U} &= Ax + By +Cz = D \\
\text{normal vector } \vec{n} &= \begin{bmatrix} A\B\C\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

## Point distance to plane

* <https://youtu.be/7rIFO8hct9g>

要找出某一個不在平面 U 的點 a 和 U 之間的最短距離 d 時

先找到原點指向該平面的向量 b，再和原點到點 a 的向量 a 相減得到 f

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNUt9HS_70EecX3nI%2Fdot_plane_distance.jpg?generation=1568692905913924\&alt=media)

$$
\vec{n} = \begin{bmatrix}A\B\C \end{bmatrix},
f = \begin{bmatrix}a\_0-b\_0 \a\_1-b\_1\a\_2-b\_2 \end{bmatrix}
$$

透過計算 cos 的公式可以得到 d 的結果，但我們不知道 theta 是多少啊

$$
\cos\theta = \frac{d}{\lvert\vec{f}\rvert}, d = \lvert\vec{f}\rvert\cos\theta
$$

沒關係， f 跟 d 的角度會跟 U 的法向量 n 一模一樣，我們帶入 n 向量發現分子變成 n 和 f 的 dot product

$$
\begin{aligned}
d &= \frac{\lvert\vec{n}\rvert\lvert\vec{f}\rvert\cos\theta}{\lvert\vec{n}\rvert} =
\frac{\vec{n}\cdot\vec{f}}{\lvert\vec{n}\rvert} \\
&= \frac{\begin{bmatrix}Aa\_0-Ab\_0 \Ba\_1-Bb\_1\Ca\_2-Cb\_2 \end{bmatrix}}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Aa\_0+Ba\_1+Ca\_2-D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}
$$

舉個例子 `Find the distance between (2, 3, 1) and plane (x - 2y + 3z = 5)`

$$
d = \frac{1\cdot2-2\cdot3+3\cdot1-5}{\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}}
\=\frac{2-6+3-5}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{-6}{\sqrt{14}}
$$

## Distance between plane

* <https://youtu.be/v8plb6V8BQo>

$$
\text{現在有一平面方程式為 } Ax - 2y + z = d \\

\text{還有另一平面包含兩條線 } \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} \text{ 和 }
\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}\\

\text{並且兩個平面為平行的，且距離為} \sqrt{6} \\
\text{請求出 } \lvert d \rvert
$$

我們先找出第二個平面的方程式，因為是平行的，所以他會跟第一個平面的方程式幾乎一樣，只有 d 不同

首先先找出該平面上兩條線的 cross product 得出該平面的 normal vector

$$
\begin{aligned}
\&a= (1,2,3) \text{ and } \\\&b=(3,5,7)  \text{ from the first line} \\
\&c= (2,3,4) \text{ from the second line} \\\\

&\vec{a} = b-a = 2i+3j+4k\\
&\vec{b} = c-a = i+j+k\\\\

&\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i &\color{red}{j}\&k\2&3&4\1&1&1 \end{vmatrix} =
-i+2j-k =\vec{n}

\end{aligned}
$$

接著找出平面上任何一點的和 abc 隨便一點所生成的向量，根據 normal vector 來找出該平面的方程式

$$
\begin{aligned}\vec{c} &= (x-1)i+(y-2)j+(z-3)k \\
\vec{n}\ &= -i+2j-k\\
\vec{n} \times \vec{c} &= \mathbf{0} \\\\

-x+&1+2y-4-z+3=0\\
-x+&2y-z=0\\
x-&2y+z=0
\end{aligned}
$$

由此可知，A 得值為 1，所以第一個平面的方程式應該為

$$
\begin{aligned}
\&Ax-2y+z=d \\
\Rightarrow &,,,x-2y+z=d
\end{aligned}
$$

最後帶入 **point to plane** 的公式即可，point 我們帶 (2, 3, 4)，以及題目給的 distance

$$
\begin{aligned}
\text{distance} &= \frac{2\cdot1-3\cdot2+4\cdot1-d}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} \\

\sqrt{6} &= \frac{-d}{\sqrt{6}}\\
d & =-6 \\
\lvert d \rvert &= 6
\end{aligned}
$$

算出 d 的絕對值為 6