Hyperparameter, Batch Normalization, Softmax

Hyperparameter Tuning

下面來 ranking 一下目前所出現過的 hyperparameters 重要度
最重要
- Learning rate $\alpha$
第二重要
- Momentum parameter $\beta \approx 0.9$
- Number of hidden units $n^{l}$
- Mini-Batch size
第三重要
- Number of layers $L$
- Learning rate decay $\text{Decay-rate}$
不怎麼需要調整
- Adam parameters $\beta_1, \beta_2, \epsilon$

我們可以一次測試多種 hyperparameters 的組合
但不要使用 grid 當作測試方法
- 假設你的 (x, y) 選用最重要跟最不重要的 $(\alpha, \epsilon)$
- 那麼你用 grid 方式等於只是在測試五種 $\alpha$ 而已

Batch Normalization (BN) 有許多好處
- 訓練速度提升
- 快速尋找 hyperparameters，所以尋找範圍更加旁大
- 能夠使 NN 不會受 hyperparameters 影響，更加穩定
在先前我們學過 Normalize input
那我們能不能把這個方法，也運用在每個 hidden layers 的 activation units ( $A^{[l]}$ ) 呢 ?
- 答案是可以的，而且能夠加速 $W^{[l+1]}, b^{[l+1]}$ 的訓練
- 實作時通常會 normalize $Z^{[l]}$ ，實作如下
  $\begin{aligned} \mu &= \frac{1}{m}\sum_i z^{(i)}\\ \sigma^2 &= \frac{1}{m}\sum_i (z_i - \mu)^2\\ z_\text{norm}^{(i)} &= \frac{z^{(i)}-\mu}{\sqrt{\sigma^2+\epsilon}} \end{aligned}$
- 此時所有新的 $z^{(i)}$ 的 mean = 0, variance = 1
- 但我們不想讓每個 $z^{(i)}$ 都一樣是 mean = 0, variance = 1
  - 以 sigmoid 為假設，這樣 normalize 後，每一個 $z^{(i)}$ 都會在 sigmoid 的 linear 區間
  - 將會不利於訓練 non-linear neural network，進而得到不好的模型
- 所以我們再次計算
  $\tilde{z}^{(i)} = \gamma \times z_\text{norm}^{(i)} + \beta$
  - 這個 $\gamma, \beta$ 跟 $w, b$ 一樣都是 parameters，可以隨著 gradient descent 更新
  - 最終這個 $\tilde{z}^{(i)}$ 就可以取代 $z^{(i)}$

所以現在利用 $w, b$ 計算完 $z$ 之後
再用 $\gamma, \beta$ 計算 $\tilde{z}$ ，以此類推下去
Backpropogation 一樣就會計算出 $d\gamma, d\beta$ 來更新 $\gamma, \beta$
另外由於 BN 包含減去 mean $\mu$ 的動作，使得 $b$ 參數變得沒有作用
- 會變成由 $\beta$ 來取代 $b$ 的工作
- 所以在 BN 中，可以把 $b$ 省略或設為 0

因為對每個 neuron 的 input 都做了 normalization，所以提高整體訓練速度
因為 normalization 的關係，所有前面層的 weights 對後面層影響減少，更加精確
- 每一層之間的 weights 耦合度減少，所以更加獨立，並提升自我學習的強度
- 減緩了 "Covariate Shift" 的影響
BN 也起到了些微的 regularization 效果
- 因為是在每個 mini-batch 重新計算 mean, variance
- 這樣計算的結果會產生一些 noise，這些 noise 產生了類似 dropout 的效果
  - 若 mini-batch size 越大，這個效果會越小
- 不要把 regularization 當作使用 BN 的主要原因

BN 能在 mini-batch 時運作良好
但在運行 test set 時，資料是一筆一筆出現，無法得到 $\mu, \sigma^2$
解決方法 : 當訓練每一個 mini-batch 時，會得到每一個 $\mu^{\{i\}[l]}, \sigma^{2\{i\}[l]}$
- 將這些參數當成 $\theta_i$ 進行 exponentailly weighted averages
- 預測出最終給 test 時使用的 $\mu, \sigma^2$ 即可

要得到多個種類的 classification，我們可以使用 Softmax 作為最後一層的 activation function
我們使用 $C$ 作為 classification 的種類數目
最後一層計算出 Z : $Z^{[L]} = W^{[L]}a^{[L-1]} + b^{[L]}$
對 $Z$ 向量的每一個 $z_i$ 使用 softmax activation function
$a_i^{[L]} = \frac{e^{Z_i^{[L]}}}{\sum_{i=1}^C e^{Z_i^{[L]}}}$
- 所有的 $a_i^{[L]}$ 加起來要等於 1
  $\sum_{i=1}^C a_i^{[L]} = 1$
用實際例子舉例

Loss function : $\mathcal{L}(\hat{y}, y) = -\sum_{j=1}^C y_j\log \hat{y_j}$
在 $y$ vector 中因為只有第 i 個 entry 為 1
- 所以其他都等於 0 $y_j = 0 \text{ if } j \neq i$
所以 Loss function 可以簡化成 $\mathcal{L}(\hat{y}, y) = -\log\hat{y_j}$
- 也就是要讓 $\hat{y_j}$ 越大，cost 才會越接近 0
於是 Cost Function 等於
$J = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \mathcal{L}(\hat{y}, y)$

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