Matrices for solving systems by elimination

Solve Linear System with matrix row-echelon form

我們可以利用矩陣之力，將 Linear system 轉為矩陣快速解出答案

$$\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+x_3+x_4=7\\ x_1+2x_2+2x_3-x_4=12\\ 2x_1+4x_2+6x_4=4 \end{matrix}\right.$$

可以轉為 Augmented matrix

$$A=\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&2&1&1&7\\ 1&2&2&-1&12\\ 2&4&0&6&4\\ \end{array}\end{bmatrix}$$

將矩陣運算至 Reduced Row-echelon form

• 紅色的為 Leading 1s 只在該列有他一個 1 存在，該元素又稱為 pivot value

• 而藍色的為 free variables

$$\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} \color{red}1&\color{blue}2&0&\color{blue}3&2\\ 0&0&\color{red}1&\color{blue}-2&5\\ 0&0&0&0&0\\ \end{array}\end{bmatrix} = \text{rref}(A)$$

我們可以將結果轉回 equations

$$\begin{aligned} &\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_4=2\\ x_3-2x_4=5 \end{matrix}\right.\\\\ \Rightarrow\,& \left\{\begin{matrix} x_1 = 2-2x_2-3x_4\\ x_3 = 5 + 2x_4 \end{matrix}\right.\\ \end{aligned}$$

並且可以表示成像 linear combination 的形式

$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\0\\5\\0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\1\end{bmatrix}$$

在圖形上看起來像是這樣

linear systems

若你的 reduced-row echelon form 算到變成這樣時

$$\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&2&0&3&4\\ 0&0&1&-2&4\\ \color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}-4\\ \end{array}\end{bmatrix}$$

表示你的三個 R4 向量在空間內是沒有交集的，所以是無解 (no solution)

而每一個 leading ones 都可以對應一個值，這樣子代表唯一解 (uniqle solution)

$$\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&x&x&x&a\\ 0&1&x&x&b\\ 0&0&1&x&c\\ 0&0&0&1&d\\ \end{array}\end{bmatrix}$$

而上面的例題中，含有 free variables 的，代表沒有唯一解，也就是無限多解

$$\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} \color{red}1&\color{blue}2&0&\color{blue}3&2\\ 0&0&\color{red}1&\color{blue}-2&5\\ 0&0&0&0&0\\ \end{array}\end{bmatrix}$$