# Matrices for solving systems by elimination

## Solve Linear System with matrix row-echelon form

我們可以利用矩陣之力，將 Linear system 轉為矩陣快速解出答案

$$
\left{\begin{matrix}
x\_1+2x\_2+x\_3+x\_4=7\\
x\_1+2x\_2+2x\_3-x\_4=12\\
2x\_1+4x\_2+6x\_4=4
\end{matrix}\right.
$$

可以轉為 Augmented matrix

$$
A=\begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1&2&1&1&7\\
1&2&2&-1&12\\
2&4&0&6&4\\
\end{array}\end{bmatrix}
$$

將矩陣運算至 Reduced Row-echelon form

* 紅色的為 Leading 1s 只在該列有他一個 1 存在，該元素又稱為 pivot value
* 而藍色的為 free variables

$$
\begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
\color{red}1&\color{blue}2&0&\color{blue}3&2\\
0&0&\color{red}1&\color{blue}-2&5\\
0&0&0&0&0\\
\end{array}\end{bmatrix} = \text{rref}(A)
$$

我們可以將結果轉回 equations

$$
\begin{aligned}
&\left{\begin{matrix}
x\_1+2x\_2+3x\_4=2\\
x\_3-2x\_4=5
\end{matrix}\right.\\\\
\Rightarrow,&
\left{\begin{matrix}
x\_1 = 2-2x\_2-3x\_4\\
x\_3 = 5 + 2x\_4
\end{matrix}\right.\\
\end{aligned}
$$

並且可以表示成像 linear combination 的形式

$$
\begin{bmatrix}x\_1\x\_2\x\_3\x\_4\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}2\0\5\0\end{bmatrix} +
x\_2\begin{bmatrix}-2\1\0\0\end{bmatrix}+
x\_4\begin{bmatrix}-3\0\2\1\end{bmatrix}
$$

在圖形上看起來像是這樣

![](https://2991100231-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LhyC30yNfTP1YdCIj83%2F-LoxNR-R30f-hKm_4Dkm%2F-LoxNSa0zThcQJE4nCC7%2Flinear_system.jpg?generation=1568692886833394\&alt=media)

## linear systems

若你的 reduced-row echelon form 算到變成這樣時

$$
\begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1&2&0&3&4\\
0&0&1&-2&4\\
\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}-4\\
\end{array}\end{bmatrix}
$$

表示你的三個 R4 向量在空間內是沒有交集的，所以是**無解 (no solution)**

而每一個 leading ones 都可以對應一個值，這樣子代表**唯一解 (uniqle solution)**

$$
\begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1\&x\&x\&x\&a\\
0&1\&x\&x\&b\\
0&0&1\&x\&c\\
0&0&0&1\&d\\
\end{array}\end{bmatrix}
$$

而上面的例題中，含有 free variables 的，代表沒有唯一解，也就是**無限多解**

$$
\begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
\color{red}1&\color{blue}2&0&\color{blue}3&2\\
0&0&\color{red}1&\color{blue}-2&5\\
0&0&0&0&0\\
\end{array}\end{bmatrix}
$$